第二章4--信号与噪声傅立叶变换

1信号的频谱分析第二章信号与噪声21.线性特性2.时移特性3.频移特性4.展缩特性5.对称互易特性6.时域卷积特性7.频域卷积特性8.时域微分特性积分特性频域微分特性9.能量定理傅里叶变换的基本性质31.线性特性，；若)()()()(2211FtfFtfFF42．时移特性则若),()(Ftf0t-j0)()(eFttf式中t0为任意实数证明：dtettfttfFtj-00)()]([令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得dxexfttfF)xt(j-00)()]([0t-j)(eF信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。53.频移特性（调制定理）若则)()(Ftf)()(0j0FetftdteetfetfFtttj-jj00)(])([式中ω0为任意实数证明：由傅立叶变换定义有dtetft)-j(-0)()(0F6]cos)([0ttfF])([21])([2100j-jttetfFetfF信号f(t)与余弦信号cos0t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。)(21)(2100FF利用欧拉公式：通过乘以余弦信号（正弦信号），可以达到频谱搬移的目的。7]cos)([0ttfF)][(21)][(210000FF)()]([FtfF])[(2100tjtjeetf0)(21F00频移特性)(21F)(F)(F80的频谱ttfCcos)(0CC的频谱)(tf的频谱ttfCcos)(0A2A两种频谱等价C图4-4利用调制定理实现频谱搬移9付里叶变换有许多重要的性质和定理，其中调制定理在通信系统中的应用最为广泛，调制定理实际上是对信号的频谱进行搬移，这是通信系统中调制技术的关键所在。调制定理的表述为)]()([21)cos()()()(CCCFFttfFtf则若（4-1）利用调制定理实现频谱搬移的图形描述如图4-4所示。图中的两种频谱表示方法均可使用，但从物理实现上讲只有正频率，负频率仅只是付里叶变换的数学结果。可将负频率的部分折叠到右边并且将频谱幅度加倍，可变换成只有正频率的频谱。上图104.展缩特性证明:则若),()(Ftf时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。)(1)(aFaatf110tA2)2(2Ftptp0tA)(Ftp2tp2)2(tftA4t4t)(21tfttt0)(tft2t2t0tA21)21(21Ftp4tp4125.互易对称特性则若),()(Ftf)(2)(pftF13若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称，直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。)(t1)(tf)(F)(Ftt)(2)(pftF14)(tf2t2t0AttE)(Ftp2tp4tp2tp4tp6tp2)(tFp20A)(f20200A)(2)(pftF157.频域卷积特性则若),()()()(2211FtfFtf)]()([21)()(2121pFFtftf卷积定理6.时域卷积特性则若),()()()(2211FtfFtf)()()()(2121FFtftf物理意义：时域卷积，频域乘积。时域乘积，频域卷积。168.微分，积分特性17上式表明信号的能量也可以由|F(ω)|2在整个频率范围的积分乘以1/2p来计算。2|)(|)(FG物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。定义单位角频率的信号能量为能量频谱密度函数，简称能量频谱。pdFdttf22|)(|21)(9.帕什瓦尔能量守恒定理：单位为焦耳/赫18能量信号与功率信号设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电阻上的功率为p(t)=f2(t)。1、能量信号为能量信号则称若)()()(lim2222tfdttfdttfETTT19.)()(1lim)(2222为功率信号则称但若tfdttfTSdttfETTT2、功率信号201.线性特性2.对称互易特性3.展缩特性4.时移特性5.频移特性6.时域卷积特性7.频域卷积特性8.时域微分特性积分特性9.频域微分特性傅立叶变换性质一览表)(2)(pftF)(1)(aFaatf0t-j0)()(eFttf)()(0j0Fetft)()()()(2121FFtftf)]()([21)()(2121pFFtftf)()(Fjdtfdnnn)()0()(1)(pttFFjdftnnnnddFjtft)()()()()()(2121bFaFtbftaf21例题：试利用对称性求低通滤波器的付氏变换。tt2)(SaAFtSaAtF2)(tt0t)(tfA2/t2/t0)(fAp22/t2/ttSaAtF002)(0)(fAp20002ttSaAtF00)(p0A00p2,同时除以两边比例特性