乘法公式(基础)知识讲解

乘法公式（基础）【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()ababab两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，ba,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()abba利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)xyxy（3）指数变化：如3232()()mnmn（4）符号变化：如()()abab（5）增项变化：如()()mnpmnp（6）增因式变化：如2244()()()()abababab要点二、完全平方公式完全平方公式：2222abaabb2222)(bababa两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：2222ababab22abab224ababab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()xpxqxpqxpq；2233()()abaabbab；33223()33abaababb；2222()222abcabcabacbc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)2332abba；(2)2323abab；(3)2323abab；(4)2323abab；(5)2323abab；(6)2323abab．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2)2323abab＝23b－22a＝2294ba．(3)2323abab＝22a－23b＝2249ab．(4)2323abab＝22a－23b＝2249ab．(5)2323abab＝23b－22a＝2294ba．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222xxyy；（2）(2)(2)xx；（3）(32)(23)xyyx．【答案】解：（1）原式2222392244xxyy．（2）原式222(2)4xx．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94xyyxxyxyxy．2、计算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)899×901＋1；(2)99×101×10001；(3)22005－2006×2004；【答案】解：(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝2290011＝810000．(2)原式＝[(100－1)(100＋1)]×10001＝21001×10001＝(10000－1)×(10000＋1)＝100000000－1＝99999999．(3)原式＝22005－(2005＋1)(2005－1)＝22005－(22005－21)＝1．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)23ab；(2)232a；(3)22xy；(4)223xy．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1)22222332396abaabbaabb．(2)222223223222334129aaaaaa．(3)22222222244xyxxyyxxyy．(4)2222222323222334129xyxyxxyyxxyy．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意22abab之间的转化．4、计算：(1)22002；(2)21999．(3)2999.9．【答案与解析】解：(1)222220022000220002200022＝4000000＋8000＋4＝4008004．(2)222219992000120002200011＝4000000－4000＋1＝3996001．(3)2222999.910000.11000210000.10.1＝1000000－200＋0.01＝999800.01．【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方．5、已知7ab，ab＝12．求下列各式的值：(1)22aabb；(2)2()ab．【答案与解析】解：(1)∵22aabb＝22ab－ab＝2ab－3ab＝27－3×12＝13．(2)∵2ab＝2ab－4ab＝27－4×12＝1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：①2ab－2ab＝4ab；②22ab＝2ab－2ab＝2ab＋2ab．解答本题关键是不求出,ab的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．举一反三：【变式】已知2()7ab，2()4ab，求22ab和ab的值．【答案】解：由2()7ab，得2227aabb；①由2()4ab，得2224aabb．②①＋②得222()11ab，∴22112ab．①－②得43ab，∴34ab．