双线性变换法

•广州大学物理与电子工程学院第四章IIR数字滤波器的设计4.4双线性变换法主要内容一、双线性变换法的基本原理二、双线性变换法的设计方法重点与难点重点1、双线性变换法的基本原理2、双线性变换法的设计方法难点1、双线性变换法的基本原理问题的提出如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法2.双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换问题的提出采用脉冲响应不变法DF的频谱有混叠解决方法采用双线性变换法上节例题利用模拟BW滤波器及脉冲响应不变法设计一数字滤波器，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-18-16-14-12-10-8-6-4-20NormalizedfrequencyGain,dBAs=14.2dB1、双线性变换法的基本原理基本思想：将非带限的模拟滤波器映射为最高频率为π/T的带限模拟滤波器。)(sH)'(sH)(zHw'wW]π/,π/[TT)2arctan(2'TTwwT'wW],[ww'p/Tp/T)2tan(2WwT模拟频率与数字频率的关系为：再线性变换到数字频率。2tan()2TarcwWs域到z域的映射关系1、双线性变换法的基本原理)2tan(2WwT)2cos()2sin(2j)2tan(2jjwjsWjez11112zzTssTsTz/2/22j2j2j2jeeee2TWWjje1e12TT双线性变换1、双线性变换法的基本原理稳定性分析11112zzTssTsTz222222)/2()/2(wwTTz令s=+jw，则有：1、双线性变换法的基本原理稳定性分析1)0,|z|1S域左半平面映射到z域单位圆内2222)/2()/2(wwTTz2)0,|z|=13)0,|z|1S域虚轴映射到z域单位圆上S域右半平面映射到z域单位圆外因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统1、双线性变换法的基本原理数字频率W变换到模拟频率w)2(tan2ΩTw)2/tan(2WTwWppWsWpwsw1、双线性变换法的基本原理双线性变换法的优缺点缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：无混叠)2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww2、双线性变换法的设计方法第一步，将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzH双线性变换法的设计步骤：2、双线性变换法的设计方法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)设计模拟滤波器双线性变换)2tan(2WwT11112)()(zzTssHzH例1:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(1)将DF的频率指标转换为AF的频率指标)2tan(2ppWwT(2)设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,wc=wp1/1)(cwssH1/1pws故1)2/tan(21pWsT例1:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见，一般取T=21)2/tan(21)(pWsTsH1pp1p)1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z//z/zHzzTs112697.01366.0366.0zz例1:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：双线性变换法设计的DF的系统函数为：110.3660.366()10.2697zHzz双脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为：1ppe1e1)(zzHWW脉令z=ejW，可分别获得两者的幅度响应。π/3π/311e1ez01/3100.71NormalizedfrequencyAmplitude例1:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。3dB例1:利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现Wp=pi/3;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2Ap2db,As15db(2)设计模拟低通滤波器（BW型）)/lg(2)110110(lgps1.01.0pswwAAN=2)2/(11.0sc)110(sNAww=0.58512cc1()()21Hsssww9324.0)2tan(2ppWwT4376.1)2tan(2ssWwT3342.05827.03342.02ss例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB解：(3)用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器11112)()(zzTssHzH21213237.02606.018157.05315.08157.0zzzz1122110.34230.82750.3423zsTzss例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dBcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50NormalizedfrequencyGain,dbAp=0.3945dBAs=15.0000dB例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50NormalizedfrequencyGain,dB将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。双线性变换法Ap=0.3945dBAs=15.0000dB脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变法Ap=1.1187dBAs=12.3628dB3、非低通IIR数字滤波器的设计Wp,Wswp,wsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法H(s)模拟频率变换设计原型低通滤波器sp,ww)(LsH复频率变换)2tan(2ΩTw注意：脉冲响应不变法不能设计高通和带阻数字滤波器11elllpTlAAspz11112zzTs方法一3、非低通IIR数字滤波器的设计方法二Wp,WsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法数字频率变换设计原型低通滤波器sp,ww)(LsH)2tan(2WwT11elllpTlAAspz11112zzTssp,WW)(LzHz域变换例4：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,Ap1dB,Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As10dB。解:脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标)2tan(2WwT取T=2，利用得模拟带阻指标为：wp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap1dB,As10dB例4：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,Ap1dB,Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As10dB。解:(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标21s2swwB9499.92s1s0},max{202p2p2202p1p1p1dB,As10dB1swwp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap1dB,As10dB模拟带阻指标例4：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad/s,Wp