南京市2016届高三学情调研考试--数学

高三数学试卷第1页（共4页）开始k←1S←0S＜20k←k＋1S←S＋2kYN输出k结束（第6题图）南京市2016届高三学情调研考试--数学参考公式样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝1ni＝1∑n(xi－－x)2，其中－x＝1ni＝1∑nxi．锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，则A∩B＝▲________．2．已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为▲________．3.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为▲________．4．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是▲________．5．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，则实数m的值为▲________．6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为▲________．7．如图，它是函数f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0，[0，2))图象的一部分，则f(0)的值为▲________．8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为▲________．9．直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1－B1C1E的体积为▲________10．对于直线l，m，平面α，mα，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的▲________条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．11．已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为▲________．－133－3xOy（第7题图）高三数学试卷第2页（共4页）12．已知平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°．若E为DC中点，且AE→·BD→＝1，则BD→·BE→的值为▲________．13．已知等比数列{an}的公比q＞1，其前n项和为Sn．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为▲________．14．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为▲________．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝bcosA．（1）求ba的值；（2）若sinA＝13，求sin(C－π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC//平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．17．（本小题满分14分）某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，PABCDE（第16题图）高三数学试卷第3页（共4页）新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3．问：P能否大于120，说明理由．18．（本小题满分16分）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝22，一条准线方程为x=2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R．（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；（2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1．若存在x1，x2∈[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．xyOPQA（第18题图）高三数学试卷第4页（共4页）20．（本小题满分16分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）设Tn＝i=1∑n(－1)iai，若对一切正整数n，不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．高三数学试卷第5页（共4页）南京市2016届高三学情调研考试数学附加题2015.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2＝AB·ED．B．选修4－2：矩阵与变换已知点P(3，1)在矩阵A＝a2b－1变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩阵A－1．C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=m+2cosα，y=2sinα（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－π4)=2．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．D．选修4－5：不等式选讲设实数x，y，z满足x＋5y＋z＝9，求x2＋y2＋z2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题．纸指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说ABCDEO·（第21题（A）图）高三数学试卷第6页（共4页）明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）假定某射手射击一次命中目标的概率为23．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：（1）X的概率分布；（2）数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝2，CE＝1，CE⊥平面ABCD．（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；（2）求二面角A－DF－B的大小．ABCDEF（第23题图）高三数学试卷第7页（共4页）南京市2016届高三学情调研考试数学参考答案及评分标准2015.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{2}2．103．0.0324．455．26．57．3228．59．3310．必要不充分11．(32，4)12．313．23＋314．3二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）由acosB＝bcosA，得sinAcosB＝sinBcosA，…………………………………3分即sin(A－B)＝0．因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，所以a＝b，即ba＝1．………………………………………………………………………6分（2）因为sinA＝13，且A为锐角，所以cosA＝223．………………………………………8分所以sinC＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sinAcosA＝429，………………………………………10分cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－79．…………………………………………12分所以sin(C－π4)＝sinCcosπ4－cosCsinπ4＝8＋7218．……………………………………………14分16．证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．…………………………………………………2分因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…………………………………………………4分因为PC/平面BDE，OE平面BDE，所以PC//平面BDE．……………………………6分（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．………………………………………8分高三数学试卷第8页（共4页）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE＝E，所以PA⊥平面BDE．………………………………12分因为PA平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．………………………………14分17．解：（1）依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*．…………………………………………4分（2）方法一依题意x＝0.2a．……………………………………………………6分所以P＝mxy＝xk(ax＋5)＝0.2ak(0.2a2＋5)＝ak(a2＋25)…………………………………………8分≤a3(a2＋25)＝13(a＋25a)≤13×(2a×25a)＝130＜120．……………………………………13分答：P不可能大于120．……………………………………………………14分方法二依题意x＝0.2a．……………………………………………………6分所以P＝mxy＝xk(ax＋5)＝0.2ak(0.2a2＋5)＝ak(a2＋25)．…………………………………………8分假设P＞120，得ka2－20a＋25k＜0．…………………………………………10分因为k≥3，所以△＝100(4－k2)＜0，不等式ka2－20a＋25k＜0无解．……………………13分答：P不可能大于120．……………………………………………………14分18．解：⑴因为ca＝22，a2c=2，所以a＝2，c＝1，所以b＝a2－c2＝１．故椭圆的方程为x22＋y2＝1．………………………………………………4分⑵解法一设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1，–y1)．因为kAP＝y1－1x1－0＝y1－1x1，所以直线AP的方程为y＝y1－1x1x＋1．令y=0，解得m＝－x1y1－1.………………………………………………8分因为kAQ＝－y1－1x1－0＝－y1＋1x1，所以直线AQ的方程为y＝－y1＋1x1x＋1．令y＝0，解得n＝x1y1＋1．………………………………………………12分所以mn＝－x1y1－1x1y1＋1＝x211－y21．………………………………………………14分PABCDEO高三数学试卷第9页（共4页）又因为(x1，y1)在椭圆x22+y2=1上，所以x212+y21=1，即1－y21=x212，所以x211–y21＝2，即mn＝2．所以mn为常数，且常数为2．………………………………………………16分解法二设直线AP的斜率为k