2011——2016年河南中考数学第22题解析

2011——2016年河南中考数学第22题解析22.（10分）（2016河南）（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b。填空：当点A位于时线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用点A为线段B除外一动点，且BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由②直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=900.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标。图3OxyPABMyxO备用图AB解：（1）CB的延长线上，a+b；………………………………………2分（2）①DC=BE,理由如下∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=600,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,……………5分∴△CAD≌△EAB（SAS）,∴DC=BE………………………………6分②BE长的最大值是4.…………………………………………………8分（3）AM的最大值为3+22，点P的坐标为（2-2，2）……10分【提示】如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=22，∴AM=NB=AB+AN=3+22;过点P作PE⊥x轴于点E，PE=AE=2,又A（2，0）∴P（2-2，2）图2CBAED图1baABCyxO图3PABMNyxO备用图EPABMN22.（10分）（2015河南））如图1，在Rt△ABC中，∠B=900，BC=2AB=8,点D,E分别是边BC，AC的中点，连DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现①当α=00时，AEBD=；②当α=1800时，AEBD=.（2）拓展探究试判断：当00≤α≤3600时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.(3)解决问题当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.谷瑞林制图备用图图2图1EDDEBCCBCBAAA解：（1）①52…………………………………………1分②52…………………………………………………2分提示：①当α=00时，在Rt△ABC中，BC=2AB=8,∴AB=4；AC=2284=45又点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB,∴458AECECABDCDCB=52②当α=1800时，∴CE∥AB,∴AE=45+25=65∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12∴6512AEBD=52（2）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣分）…………………………3分在图1中，∵点D,E分别是边BC，AC的中点，∴CE∥AB,∴CECDCACB,∠EDC=∠B=900;如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴CECDCACB仍然成立。…………………………………………………………4分又∵∠ACE=∠BCD=α；∴△ACE∽△BCD，∴AEACBDBC………………………6分在Rt△ABC中，AC=2284=45，∴AEACBDBC=458=52。∴AEBD的大小不变。………………………8分（3）45或1255………………………10分提示：如图4，当△EDC在BC上方，且A、D、E三点共线时，四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=45；如图5，当△EDC在BC下方，且A、D、E三点共线时，△ADC是直角三角形，由勾股定理得，AD=8,∴AE=6,根据52AEBD,得BD=1255图3DEBCA图4BCADE图5DEBCDAE22.（10分）（2014河南）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE填空：（1）∠AEB的度数为；（2）线段AD、BE之间的数量关系是。（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=2。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。22.（1）①60；②AD=BE.……………………………………………………………2分（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE.………………………………………………4分（注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,即∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE.………………………………………………………………6分∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=1350.∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．…………………………………7分在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE………………………………………………………8分(3)312或312…………………………………………………………10分【提示】PD=1，∠BPD=900,∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,CD=2,∴BD=2,BP=3,∴AM=12PP/=12(PB-BP/)=312第二种情况如图②，可得AM12PP/=12(PB+BP/)=31222.（10分）（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出．．．．相应的BF的长.【解析】试题分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60º,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30º角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用角角边证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;试题解析：（1）①线段DE与AC的位置关系是平行．②S1与S2的数量关系是相等．证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．由①可知△ADC是等边三角形，DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM．∴CF=EM．图2∵∠ACB=90º,∠B=30º，ECDBA图4M图3ABCDENA(D)B(E)C图1ACBDE图2∴AB=2AC．又∵AD=AC,∴BD=AC．∵S1=CF·BD,S2=AC·EM，图3∴S1=S2．证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.∵∠DCE=∠ACB=90º∴∠DCG+∠ACE=180º．又∵∠ACH+∠ACE=180º,∴∠ACH=∠DCG．又∵∠CHA=∠CGD=90º,AC=CD,∴△AHC≌△DGC．∴AH=DGCE=CB,∴S1=S2．又∵CE=CB,∴S1=S2．（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF=S△BDE，过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=0.5×60°=30°，∴∠CDF1=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=0.×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=故BF的长为或．ABEFCGD图222.（10分）（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若3AFEF，求CDCG的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_______________，CG和EH的数量关系是_________________，CDCG的值是．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若AFmEF（m＞0），则CDCG的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若,ABBCabCDBE（a＞0，b＞0），则AFEF的值是（用含a、b的代数式表示）．22．（1）AB=3EH；CG=2EH；32．（3分）（2）2m．…………………………（4分）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．,ABAFmABmEHEHEF∴　∴．∵AB=CD，∴CD=mEH．…………………...（5分）∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．........................................................................6.2,2CGBCCGEHEHBE∴∴．（分）.....................................................................................722CDmEHmCGEH∴．（分）（3）ab．…………………………………………………..（10分）【提示】过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．图3FBACDE图1DGCFEBA22.（2011河南）（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t