二次函数与相似三角形问题(含答案)

1yxEQPCBOA综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题练习1、如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。练习2、已知抛物线2yaxbxc经过53(33)02PE，，，及原点(00)O，．（1）求抛物线的解析式．（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得OPC△与PQB△相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？2练习3、如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．练习4、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)，．（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223yxx）（2）若直线:(0)lykxk与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)ABC，，，，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标px的取值范围．CBAxPyyClxBA1x3练习5、如图，已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝34tx－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是__，b＝__，c＝__；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．ABxyOQHPC练习6、如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．4练习7、已知，如图1，过点01E，作平行于x轴的直线l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、．（1）求点ABF、、的坐标；（2）求证：CFDF；（3）点P是抛物线214yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO⊥交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ△与CDF△相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习8、当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．（1）求该抛物线的关系式；（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．ABCDOxyEF35练习11、如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.（1）写出点B的坐标；（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为.练习12、如图，抛物线21yaxbx与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．OBCD6练习13、已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．练习14、如图,设抛物线C1:512xay,C2:512xay,C1与C2的交点为A,B,点A的坐标是)4,2(,点B的横坐标是－2.（1）求a的值及点B的坐标；AxyOB7（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.记过C2顶点Ｍ的直线为l,且l与x轴交于点N.①若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1,2)，求点N的横坐标；②若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.练习15、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当x=0时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令2yEF，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断EAP与PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。练习16、如图，已知(4,0)A，(0,4)B，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．8(1)求C点坐标及直线BC的解析式;(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P．参考答案例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay29∵抛物线过原点，∴1)20(a02∴41a.抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝OB,由1)2x(4102得4x,0x21,∴B(4,0),OB＝4.∴D点的横坐标为6将x＝6代入1)2x(41y2,得y＝－3,∴D(6,－3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP的解析式为x21y由xx41x212,得6x,0x21.∴P(6,－3)过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.练习1、解：（1）由已知可得：EA'OABPyx图2COABDyx图11033375530420ababc解之得，253033abc，，．因而得，抛物线的解析式为：225333yxx．（2）存在．设Q点的坐标为()mn，，则225333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC△∽△，则有3333nm，即2253333333mmm解之得，12232mm，．当123m时，2n，即为Q点，所以得(232)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP△∽△，则有3333nm，即2253333333mmm解之得，12333mm，，当3m时，即为P点，当133m时，3n，所以得(333)Q，．故存在两个Q点使得OCP△与PBQ△相似．Q点的坐标为(232)(333)，，，．（3）在RtOCP△中，因为3tan3CPCOPOC．所以30COP．当Q点的坐标为(232)，时，30BPQCOP．所以90OPQOCPBQAO．因此，OPCPQBOPQOAQ，，，△△△△都是直角三角形．又在RtOAQ△中，因为3tan3QAQOAAO．所以30QOA．11即有30POQQOAQPBCOP．所以OPCPQBOQPOQA△∽△∽△∽△，又因为QPOPQAOA，⊥⊥30POQAOQ，所以OQAOQP△≌△．练习2解：（1）OCD△与ADE△相似。理由如下：由折叠知，90CDEB°，1290∴°，139023.，又90CODDAE∵°，OCDADE∴△∽△。（2）3tan4AEEDAAD∵，∴设AE=3t，则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。358OCABAEEBAEDEttt∴。由（1）OCDADE△∽△，得OCCDADDE，845tCDtt∴，10CDt∴。在DCE△中，222CDDECE∵，222(10)(5)(55)tt∴，解得t=1。∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，Oxy图1CBED312A图2OxyCBEDPMGlNAF121038kbb，∴，解得128kb，，182yx∴，则点P的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，y=2x－12。如图2：准确画出两条直线。练习3解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)，，由1242393212.baabcab，，解得123.abc，，此二次函数的表达式为223yxx．（2）假设存在直线:(0)lykxk与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD，，为顶点的三角形与BAC△相似．在223yxx中，令0y，则由2230xx，解得1213xx，(10)(30)AB，，，．令0x，得3y．(03)C，．设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx⊥轴于点E．点B的坐标为(30)，，点C的坐标为(03)，，点A的坐标为(10)，．4345.ABOBOCOBC，，223332BC