线性代数各章知识及脉络图

-1-一、行列式知识结构网络图概念性质展开式计算证明0A应用经转置行列式的值不变；某行有公因数k，可把k提到行列式外；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和；两行互换行列式变号；某行的k倍加至另一行．行列式的值不变；不同行、不同列的n个元素之积的代数和1nnikikkDaA（按i行展开）1nnkjkjkDaA（按j行展开）余子式、代数余子式给定（i,j）元的值未给定（i,j）元的值化三角形－加边法、爪型行列式；公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式；递推、数学归纳法；等用行列式性质计算；用矩阵性质计算；用方阵的特征值；等克拉默法则；判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵；线性相关性的判定；求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况；求方阵的特征值。nnRnA；0是方阵A的特征值；AA行列式-2-行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．行列式的性质【例】：已知531，252，234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明522353124也是9的倍数。解答：522353124231321010rr,rr522353531252234139r5229353582726【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？解答：设原行列式为nA1det，则新的行列式为113221detnnnB，00,,3,2det11321113221nnninnnnirrB特殊行列式1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式1111111111221122221111111niiinnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式12111111212212121111111nnnnnnn,n,n,n,niiinn,nnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa-3-3、分块三角行列式形式简记为：AOAABBOB，1knOAAABBBO4、范德蒙德行列式211112112122222221212121111111121121111111,,,11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxx121,,,nijnijfxxxxx1213211212111,,,nnjnjjjnjnjjjfxxxxxxxxxxx1221nnnnnnxxxxxxxx12131211323121nnnnnnxxxxxxxxxxxxxx认识范德蒙德行列式可以将n阶范德蒙德行列式看成式关于n个变量12,,,nxxx的函数，即12,,,nnDfxxx。此种类型行列式具有如下三个特点：○1从列的角度看：第j列元素从上到下依次为同一个变量jx的零次幂、1次幂、…、n－1次幂，1,2,,jn；○2从行的角度看：第i行元素是从左往右依次为12,,,nxxx的i－1次幂，1,2,,in○3从结果看：121,,,nijnijfxxxxx是关于变量12,,,nxxx的112nn次齐次函数；而且该齐次函数可以分解为112nn个一次因式ijxx之积，其中1nij，即脚标大者与脚标小者之差。（说明：i可以取值为1,2,,n，例当i取值为4时，j只可以取值为3、2、1，即区间1,1i中的每一个整数）当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。参见“范德蒙德行列式专辑”-4-认识余子式（Minor）和代数余子式（AlgebraicMinor），及其之间的关系ijdeta的i,j元ija的余子式ijM和代数余子式ijA，仅与位置i,j有关，ija的取值如何并不影响其余子式ijM和代数余子式ijA的取值。1ijijijAM，代数余子式即为带符号的余子式。利用教材P21例13深入理解余子式和代数余子式及其关系。【例】：已知4阶行列式D中，第一行元素分别为1，2，0，-4；第三行的4个元素的余子式分别为：313233346192M,Mx,M,M。求x的值。解答：11311232133314340aAaAaAaA，所以有313234240MMM，62420x，所以7x。【例】：1、设行列式Adet的元素为ija，行列式试证：njiijAxAD1,detdet，其中ijA为ija在Adet中的代数余子式。证明：把Ddet升阶得到njiijnjnjnjjAxAAxAxA1,111detdet2、设ijaA，ijA是ija在Adet中的代数余子式，求证-5-3211ccccccnnn按第一行展开0111111111112,12,11,1.12,22122,11111,21,12,1.11,22221,11211.11,2211,111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,21,111211112111nnnnnnnnnnnAAAAAAAAA计算技巧：○1利用特殊行列式计算，利用公式BAAB求行列式值【例】：计算行列式令ABCCDn，0000000011110010010010011212222nnbbbbaaaaC2,1,3,0212111nnnbbaabaBADn-6-○2加边法专辑加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，从而实现计算的简化。此种方法其实是反向利用Laplace展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。【例】：○112111111111naaa，其中.,,2,1,0niai解答：naaa111111111211211111011101110111nnaaa加边12111111001002,,100innaraina1r1111121111110000001,,000jniijannaccaajna1111nniiiiaa○2111212122212111nnnnnnababababababababab。解答：1211121212221211010101nnnnnnnnnbbbababababababababab加边12111112221111112,,111ninnnnbbbaaarraaainaaa121111222221000001111111nnnnnnnbbbaaaaaaaaaaaa加边-7-12112210111011100103,,201001njnnbbbccaajna1212122111101013,,20101ninijnnnbbbbccajnaa1211122111110013,,2001001nniiiniijjnnabbbbbcacjn11111nnnkkkkkkkabnab○3爪型行列式专辑爪型行列式形如：方法：将D的第i+1列乘以1,2,,iicina都加到第1列，得有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。【例】：123nnaxxxxaxxDxxaxxxxa化为爪型行列式的方法：-8-○1112113100002,3,,00innaxxxxaaxrrDxaaxinxaax112111111nnnnniiiiiiiiaxxxaaxxaxaax○2先采用加边法12310000nnxxxxaxxxxaxxDxxaxxxxa1123111000100010002,,11000innxxxxaxrraxaxinax11112311000000002,,100000000jniijannxxxxxaaxccaxjnaxax111nniiiixaxa加边法与爪型行列式结合可以计算如下行列式值：-9-○4范德蒙德行列式专辑222244441111abcdabcdabcd，此4阶行列式并非范德蒙德行列式，并非4个元素的零次至3次幂构成。解法一：采用降阶法，即利用行列式展开定理，逐步展开行列式。222244441111abcdabcdabcd213141cccccc222222244444441000abacadaabacadaabacada或者222244441111abcdabcdabcd21231441rarrarrar2222224444441111000bacadabacadabacada按第1行展开222222444444bacadabacadabacada222222111bacadabacadababacacadada＝＋＋＋＋＋＋＋-10-2131cccc22100bacadabacbdbbabaxy＋＋＋222222xcbabcacbcabydbabdadbdabcbdbbacadaxy22222211bacadacbdbabcacbcababdadbdabbacadacbdbdcabcd解法二：利用范德蒙德行列式。但是首先对原行列式增加一行一列，使之成为5阶范德蒙德行列式,,,,fabcdx22222333334444411111,,,,abcdxabcdxfabcdxabcdxabcdx，其中（4，5）元素3x的余子式即是所求4D。按第5列展开2341525354555,,,,(1)fabcdxAxAxAxAxA，即445DA根据范德蒙德行列式得,,,,,,,(2)fabcdxxaxbxcxdfab