二次函数与特殊四边形综合问题

第1页二次函数与特殊四边形综合问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式（1）抛物线上的点能否构成平行四边形（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形（3）抛物线上的点能否构成梯形。特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，抛物线2yxbxc与直线122yx交于,CD两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为7(3,)2。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。（3）若存在点P，使45PCF，请直接写出相应的点P的坐标【解答】（1）∵直线122yx经过点C,∴(0,2)C第2页∵抛物线2yxbxc经过点(0,2)C，D7(3,)2∴227273322cbbcc∴抛物线的解析式为2722yxx（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上∴271(,2),(,2)22PmmmFmm∵PF∥CO，∴当PFCO时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形①当03m时，22712(2)322PFmmmmm∴232mm，解得：121,2mm即当1m或2时，四边形OCPF是平行四边形②当3m时，2217(2)(2)322PFmmmmm232mm，解得：12317317,22mm（舍去）即当13172m时，四边形OCFP是平行四边形（3）如图，当点P在CD上方且45PCF时，作,PMCDCNPF,则第3页△PMF∽△CNF，∴212PMCNmMFFNm∴2PMCMCF∴555555222PFFMCFCNCNm又∵23PFmm∴2532mmm解得：112m，20m（舍去）∴17(,)22P。同理可以求得：另外一点为2313(,)618P㈡【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】例二．（2013•荆州）如图，已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．考点：二次函数综合题分析：（1）首先求出一次函数y=﹣x+与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形第4页求出BF、EF、AF的长；（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值；如答图1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，证明△AFG与△AGB相似．（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：①若∠ADF=90°，如答图2所示．首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；②若∠AFD=90°，如答图3所示．解题思路与①相同．解答：解：（1）在直线解析式y=﹣x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1．∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=．∴tan∠OAB=，∴∠OAB=60°，∴AB=2OA=2．∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°．∴EF===t，BF=2EF=2t，∴AF=AB﹣BF=2﹣2t．（2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四边形ADEF为平行四边形．若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OD，即：t=2（1﹣t），解得t=．∴t=时，四边形ADEF是菱形．②此时△AFG与△AGB相似．理由如下：如答图1所示，连接AE，∵四边形ADEF是菱形，∴∠DEF=∠DAF=60°，∴∠AEF=30°．由抛物线的对称性可知，AG=AE，∴∠AGF=∠AEF=30°．在Rt△BEG中，BE=，EG=2，第5页∴tan∠EBG==，∴∠EBG=60°，∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°．在△AFG与△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，∴△AFG∽△AGB．（3）当△ADF是直角三角形时，①若∠ADF=90°，如答图2所示：此时AF=2DA，即2﹣2t=2t，解得t=．∴BE=t=，OE=OB﹣BE=，∴E（0，），G（2，）．设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，∴y=x+．令x=1，得y=，∴M（1，）．设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+，点E（0，）在抛物线上，∴=a+，解得a=．∴y=（x﹣1）2+=x2+x+．②若∠AFD=90°，如答图3所示：第6页此时AD=2AF，即：t=2（2﹣2t），解得：t=．∴BE=t=，OE=OB﹣BE=，∴E（0，），G（2，）．设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，∴y=x+．令x=1，得y=，∴M（1，）．设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+，点E（0，）在抛物线上，∴=a+，解得a=．∴y=（x﹣1）2+=x2+x+．综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：y=x2+x+或y=x2+x+．点评：本题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点．第（3）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解．㈢【抛物线上的点能否构成梯形】例三.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），第7页顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=55.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为QMNS，△QNR的面积QNRS，求QMNS∶QNRS的值.解：（1）如图，过点B作BDOA于点D．在RtABD△中，35AB，5sin5OAB，5sin3535BDABOAB．又由勾股定理，得2222(35)36ADABBD．1064ODOAAD．点B在第一象限内，点B的坐标为(43)，．点B关于x轴对称的点C的坐标为(43)，．设经过(00)(43)(100)OCA，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)yaxbxa．yxFP3BECDAP2P1O第8页由11643810010054aababb，．经过OCA，，三点的抛物线的函数表达式为21584yxx．（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以POCA，，，为顶点的四边形为梯形．①点(43)C，不是抛物线21584yx的顶点，过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点1P．则直线1CP的函数表达式为3y．对于21584yxx，令34yx或6x．1143xy，；2263xy，．而点(43)C，，1(63)P，．在四边形1PAOC中，1CPOA∥，显然1CPOA．点1(63)P，是符合要求的点．②若2APCO∥．设直线CO的函数表达式为1ykx．将点(43)C，代入，得143k．134k．直线CO的函数表达式为34yx．于是可设直线2AP的函数表达式为134yxb．将点(100)A，代入，得131004b．1152b．直线2AP的函数表达式为31542yx．由223154246001584yxxxyxx，即(10)(6)0xx．11100xy，；22612xy，；第9页而点(100)A，，2(612)P，．过点2P作2PEx轴于点E，则212PE．在2RtAPE△中，由勾股定理，得222222121620APPEAE．而5COOB．在四边形2POCA中，2APCO∥，但2APCO．点2(612)P，是符合要求的点．③若3OPCA∥．设直线CA的函数表达式为22ykxb．将点(100)(43)AC，，，代入，得22222211002435kbkkbb，．直线CA的函数表达式为152yx．直线3OP的函数表达式为12yx．由22121401584yxxxyxx，即(14)0xx．1100xy，；22147xy，．而点(00)O，，3(147)P，．过点3P作3PFx轴于点F，则37PF．在3RtOPF△中，由勾股定理，得22223371475OPPFOF．而35CAAB．在四边形3POCA中，3OPCA∥，但3OPCA．点3(147)P，是符合要求的点．第10页综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)PPP，，，，，，使以POCA，，，为顶点的四边形为梯形．（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N．可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)yaxkxka．即22310yaxakxak2234924axkak．如图，过点M作MGx轴于点G．3(20)(50)02QkRkGk，，，，，，22349(010)24NakMkak，，，，3||2||7||2QOkQRkOGk，，，22749||||10||24QGkONakMGak，，．23117103522QNRSQRONkakak△．QNMQNOQMGONMGSSSS△△△梯形111()222QOONONGMOGQGGM2222114931749210102242224kakakakkkak3314949212015372884akak．3321::(35)3:204QNMQNRSSakak△△．②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N．同理，可得:3:20QNMQNRSS△△．综上可知，:QNMQNRSS△△的值为3:20yxQOGRMN第11页三、形成提升训练1、如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明