复合函数求导法-教案

教学内容备注2.2.2复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。二、复合函数的求导法则1、比如求函数xy2sin的导数。错误解答：xy2cos正确解答：xxxxxxy2cos2sincos2cossin22sin22对比一下，答案错误的原因是把x2当成了自变量。我们先把复合函数xy2sin进行分解为xuuy2,sin。xudxdududydxdyy2cos22cos1、求复合函数的导数可分两步：第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。第二步：逐一分步求导。复合函数求导法则:设函数()yfu在点u处可导，()ux在点x处可导，则复合函数[()]yfu在点x处可导，且有()()dyfuxdx或dydydudxdudx证明设变量x有改变量x，相应地，变量u有改变量u，从而y有改变量y.由于u可导，所以0lim0ux，)(limlim00xuuyxyxxxuuyxu00limlimxuuy即xuxuyy.现在利用复合函数求导法则求xy2sin的导数：uysin，xu2（中间变量为u,自变量为x），即（对u求导)(对x求导)（回代）(sin)(2)2cos2cos2uxyuxux如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。教学内容备注推论设函数()yfu，()uv，()vx都是可导函数，则复合函数{[()]}yfx也可导，且()()()uvxdyfuvxyuvdx或dydydudvdxdudvdx注意：{[()]}fx表示复合函数y对自变量x的导数，如2[sin(1)]yx=22cos(1)xx[()]fx表示复合函数y对中间变量()ux的导数而2sin(1)yx=2cos(1)x求复合函数的导数时，关键要分清复合函数的复合过程，认清中间变量。例1设函数3cos22xy，求y。解：因为3cos22xy是由3,cos22xuuy复合而成的，所以3sin42sin22xxxudxdududyuyyxu复合函数求导法步骤：第一步(关键步骤)：将复合函数写成或分解为简单函数，辨明各步求导中函数与自变量各是什么？第二步：再逐层分步求导.当然熟练以后可以不必写出中间变量U、V，U和V写在心上。由内到外，层层求导。例2求函数ln(sin3)yx的导数.解法1ln(sin3)yx分解成三个简单函数：uyln，vusin，3vx.xvuvuyy(ln)(sin)(3)uvxuvx=1cos3vu1cos33sin3xx3cot3x.解法2ln(sin3)xxyxsin3ln(sin3)sin3xxxx31(sin3)3sin3xxxxx1cos33sin3xx3cot3x.回代应用1lnuuu应用sincosuuu应用12uuu教学内容备注注:解法2把中间变量记在心上而没写出来.例3求函数xyxe的导数.解xxxyxexxxxxexexe12xxxxxexe1()2xxxexe12xxexe练习求下列函数的导数11sinxye2.lnsinyx3.3arctanyx4.21yx1解：1111sinsinsinsin211111()(sin)cos()cosxxxxyeeeexxxxx对于既有四则运算，又有复合运算的初等函数，则利用相应的求导法则.例4求函数xexxy322cos的导数.解23cos2xyxxe232323cos2cos2cos2xxxxxexxexxe323232cos2(2sin2)cos23xxxxxexxexxe323232cos22sin23cos2xxxxxexxexxe.例5求函数23sin3cos2tan2yxxx的导数.解32222sin3cos3cos2sin33cos2(sin2)2sec22yxxxxxxx32223sin6cos26sin2sin3cos22sec2xxxxxx应用复合函数求导法则应用运算法则123123123123uuuuuuuuuuuu教学内容备注求导时，若能对函数先化简，可使求导运算简便例6求函数211yxx的导数“先化简，再求导”解：先分母有理化，则222211(1)(1)xxyxxxxxx然后求导，得222111(1)1211yxxx练习求lnlnyxx的导数三．反函数求导法则函数()yfx的反函数：()xy。一般说的y是指xy，写出来就是dydx，即y是函数，x是自变量；但是对于()xy如果x指的是yx，写出来就是dxdy，即x是函数，y是自变量。111()()ydyyfxdxdxxydy例7设函数(0,1)xyaaa，证明：aayxln.证明因为xya的反函数yxalog在(0,)内既单调，又可导，而且10lndxdyya.所以由定理得aaaydydxayxxlnln1.特别地，当ae时，()'xxee.例8证明：21(arcsin)'1xx，(1,1)x.证明因为()sinxyy在(,)22内严格单调、可导，且'()0y，所以其反函数xxfyarcsin在(1,1)内严格单调、可导，且有221111(arcsin)''()cos1sin1xyyyx.同理可得21(arccos)'1xx.练习证明：21(arctan)'1xx.证明因为()tanxyy在(,)22内严格单调、可导，且'()0y，所以其反函数xxfyarctan教学内容备注在(,)内严格单调、可导，且有2221111(arctan)''()sec1tan1xyyyx.同理可得21(cot)'1arcxx.作业