整式乘除与因式分解综合讲义(很实用)

1整式的乘除与因式分解专题综合讲义一、学习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5..掌握因式分解的常用方法。二、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：bca22的系数为2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如：122xaba，项有2a、ab2、x、1，二次项为2a、ab2，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223yxyyxx按x的升幂排列：3223221xyxxyy按x的降幂排列：1223223yxyyxx按y的升幂排列：3223221yyxxyx按y的降幂排列：1223223xxyyxy5、同底数幂的乘法法则：mnmnaaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。2如：235()()()ababab6、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(47、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且)nm同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab9、零指数和负指数；10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。ppaa1（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如：81)21(23310、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx323211、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)((cbam,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。3③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]如：)(3)32(2yxyyxx12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：)6)(5()3)(23(xxbaba13、平方差公式：22))((bababa注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：))((zyxzyx14、完全平方公式：2222)(bababa公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意：abbaabbaba2)(2)(2222abbaba4)()(22222)()]([)(bababa222)()]([)(bababa完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。15、三项式的完全平方公式：（课本外补充）bcacabcbacba222)(222216、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：bamba24249717、多项式除以单项式的法则：4多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：()ambmcmmammbmmcmmabc18、因式分解：（重点）常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……三、知识点精析：1.同底数幂、幂的乘方运算：am·an=am+n(m，n都是正整数).(am)n=amn(m，n都是正整数).例题1.若6422a，则a=；若8)3(327n，则n=.例题2.若125512x，求xx2009)2(的值。例题3.计算mnxyyx2322练习1.若32na，则na6=.2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。2.积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例题1.计算：43ppmnnmmn3.乘法公式平方差公式：22bababa完全平方和公式：2222bababa完全平方差公式：2222bababa例题1.利用平方差公式计算：2009×2007－20082例题2.利用平方差公式计算：22007200720082006．例题3.利用平方差公式计算：22007200820061例题4.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）变式练习51．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少2.已知,21xx求221xx的值3．已知,16)(2yx4)(2＝yx，求xy4如果a2＋b2－2a＋4b＋5＝0，求a、b的值5.试说明两个连续整数的平方差必是奇数7.一个正方形的边长增加4cm，面积就增加56cm，求原来正方形的边长4.单项式、多项式的乘除运算（1）（a－61b）（2a＋31b）（3a2＋121b2）；（2）[（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．5.因式分解：（必须理解透）1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1把2105axaybybx分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)axaybybxaxybxyxyab说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．例2把2222()()abcdabcd分解因式．分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()abcdabcdabcabdacdbcd2222()()abcacdbcdabd6()()()()acbcadbdbcadbcadacbd说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2.公式法：根据平方差和完全平方公式例题1分解因式22925xy3.配方法：例分解因式2616xx解：222222616233316(3)5xxxxx(35)(35)(8)(2)xxxx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家尝试一下．4.十字相乘法：（1）．2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq因此，2()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例1把下列各式因式分解：(1)276xx(2)21336xx解：(1)6(1)(6),(1)(6)7276[(1)][(6)](1)(6)xxxxxx．(2)3649,4913721336(4)(9)xxxx说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2把下列各式因式分解：(1)2524xx(2)2215xx解：(1)24(3)8,(3)852524[(3)](8)(3)(8)xxxxxx(2)15(5)3,(5)322215[(5)](3)(5)(3)xxxxxx说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．例3把下列各式因式分解：(1)226xxyy(2)222()8()12xxxx分析：(1)把226xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是26y，一次项系数是y，把26y分解成3y与2y的积，而3(2)yyy，正好是一次项系数．(2)由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式2812aa．解：(1)222266(3)(2)xxyyxyxxyxy(2)22222()8()12(6)(2)xxxxxxxx(3)(2)(2)(1)xxxx（2）．一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc8我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例4把下列各式因式分解：(1)21252xx(2)22568xxyy解：(1)21252(32)(41)xxxx3241(2)22568(2)(54)xxyyxyxy1254yy说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，