初三中考总复习——图形变换

西城区教育研修学院·初三数学研修活动2015.3.26图形变换1/20初三中考总复习——图形变换西城外国语学校袁慎鹏图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变．通过平移、轴对称、旋转变换达到复杂图形简单化、一般图形特殊化，分散条件集中化的目的．从图形变换的角度思考问题，可以整体把握图形的性质，特别是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用，使问题解决更加简洁明确．当图形运动变化的时候，从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形．一、《考试说明》的要求：考试内容考试要求ABC图形的变化图形的平移了解平移的概念；理解平移的基本性质．能画出简单平面图形平移后的图形；能利用平移的性质解决有关简单问题．运用平移的有关内容解决有关问题图形的轴对称了解轴对称的概念；理解了解平移的概念；了解轴对称图形的概念．能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质；能利用轴对称的性质解决有关简单问题．运用轴对称的有关内容解决有关问题轴对称旋转认识平面图形关于旋转中心的旋转；理解旋转的基本性质；理解中心对称、中心对称图形的概念；理解中心对称的性质．能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形；探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质；能利用旋转的性质解决有关简单问题．运用旋转的有关内容解决有关问题变化：1．顺序有变化，符合学生学习的顺序；2．变换的性质比较笼统没有2014年的说明具体；3．“作图”变为“画图”，画图的要求更加具体；4．基本的轴对称图形由六个变为五个，删掉了“等腰梯形”；5．C级要求的“解决简单问题”统一变为“解决有关问题”．二、图形变换在近6年中考中的分布及呈现方式：近6年的中考中，变换在选择、填空、操作题、第23题、第24题、第25题中都有出现过，主要的考察方式有：辨别轴对称图形与中心对称图形；通过阅读理解获取有效信息，选择合适的的变换对图形进行重新构造从而解决问题；把函数的图象进行变换，要求发现平移西城区教育研修学院·初三数学研修活动2015.3.26图形变换2/20后的函数与原函数之关系；应用变换的思想综合运用几何知识添加适当的辅助线解决问题．三、复习建议：1．基本概念要明晰；平移轴对称旋转中心对称图示B'C'A'ABCC'B'A'PMNCBAOC'B'A'CBAABCA'B'C'O性质(1)平移前后的图形全等；(2)对应线段平行(或共线)且相等；(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等．(1)关于某条直线对称的两个图形全等；(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分；※(3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上．(1)旋转前后的图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；⑴关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分.⑵关于中心对称的两个图形是全等图形.性质简明图形B'A'ABlDBB'AAOA'A'CABC'性质间接概述全等、平行四边形的性质※全等、中垂线、共线全等、等距、等角全等、平分、共点2．复习要有浅入深逐层深入，让各层的学生都有所收获．3．对于几何综合题的复习要引导学生从几何图形与变换的角度重新认识常见辅助线的添加方法，比如：西城区教育研修学院·初三数学研修活动2015.3.26图形变换3/20（1）中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线（2）等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短；（3）平行四边形——平移；（4）正多边形、共端点的等线段——旋转；4．对于坐标系中研究函数图象的平移和对称的问题要引导学生抓住问题的本质，把该问题转化函数图象上点的变换问题，进而进一步转化为函数图象上关键点的变换问题．四、第一轮复习安排和例题共用三个课时，第一课时：三种变换的概念和性质的简单应用；第二课时，作图和操作问题；第三课时：综合.例1（2013北京）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）学生存在的问题：审题只看见是什么，忽略不是什么；旋转对称与中心对称易混淆；怕文字表述的图形.例2如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2cm，60A．将△ABC沿AB边所在直线向右平移，记平移后它的对应三角形为△DEF．（1）若将△ABC沿直线AB向右平移3cm，求此时梯形CAEF的面积；【答案】53（2）若使平移后得到的△CDF是直角三角形，则△ABC平移的距离应为______cm．【答案】1或4学生存在的问题：弄不清3cm是那条线段的长，不会分类.例3（2011上海）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0m180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝_________．【答案】80和120西总P31T10学生存在的问题：会将整个△ABC旋转后的图形都画，把图形弄复杂.例4（2013湖南郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，DCBA西城区教育研修学院·初三数学研修活动2015.3.26图形变换4/20则∠ADB′等于（）【答案】DA．25°B．30°C．35°D．40°学生存在的问题:轴对称的性质应用不全面，想到了边，但忘了角.《探诊》P17T10题例5西总P29例4学生存在的问题：一是没看清把那个三角形平移或对称，二是不会判断中心对称.西总P88例1例6（2014顺义二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到BC边时，小球P所经过的路程为；当小球P第一次碰到AD边时，小球P所经过的路程为；当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为．【答案】5，552，6555n．学生存在的问题：作图不合理，不会将角关系转化为线段的关系.例7（2011北京中考）．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD中，ADBC∥，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、ADBC的长度为三边长的三角形的面积．图1图2ADBCOADBCOE小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的BDE△即是以AC、BD、ADBC的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中BDE△的面积等于________．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：DCFBAE图3AFECDB西城区教育研修学院·初三数学研修活动2015.3.26图形变换5/20如图3，ABC△的三条中线分别为AD、BE、CF．⑴在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；⑵若ABC△的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积学生存在的问题：主要是在第三问，能画出图但找不出新三角形与原图形之间的面积关系，究其原因就是对于中线等分面积的性质不太会用.例8（2013北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线222mxmxy（0m）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在12x这一段位于直线l的上方，并且在32x这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。P89西总例2学生存在的问题：读不懂第三问是什么意思，不能很好地抓住抛物线式轴对称图形这一特点，同时对于抛物线的连续性理解不到位.例9（2013.1海淀期末）．抛物线2(3)3(0)ymxmxm与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P1(,)xb与点Q2(,)xb在（1）中的抛物线上，且12xx，PQ=n.①求2124263xxnn的值；②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是.学生存在的问题：第2问主要是不能从坐标的特点发现P、Q是关于直线x=1对称的，另外就是n与12xx、的关系弄错，再就是消元不明确；第三问主要是临界点把握不好，缺乏对于运动变换问题连续搜索的习惯.西城区教育研修学院·初三数学研修活动2015.3.26图形变换6/20例10（2014海淀二模）在ABC△中，90ABC，D为平面内一动点，ADa，ACb，其中a，b为常数，且ab.将ABD△沿射线BC方向平移，得到FCE△，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E.连接BE.（1）如图1，若D在ABC△内部，请在图1中画出FCE△；（2）在（1）的条件下，若ADBE，求BE的长（用含,ab的式子表示）；（3）若=BAC，当线段BE的长度最大时，则BAD的大小为__________；当线段BE的长度最小时，则BAD的大小为_______________（用含的式子表示）图1备用图西总P93例8:平移方向不是水平的，与x轴负半轴的角的正切为12例11（2014北京中考）．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BEDE，，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB，求ADF的度数；（3）如图2，若4590PAB，用等式表示线段ABFEFD，，之间的数量关系，并证明．学生存在的问题：第2问一是没想到连AE，二是连BF后证不出直角；没有吃透第一问解决ABCDABCD图1PDCBAABCDP图2西城区教育研修学院·初三数学研修活动2015.3.26图形变换7/20问题的策略与方法，另外就是对于线段之间的关系不敏感.例12（2014昌平二模）【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF.则DE，DF的数量关系为.【拓展】如图2，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF.求证：DE=DF；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.ADBECMFADBECMFMABCDFE图3图2图1学生存在的问题：主要问题出在第三问一是二次相似确实是一个难点，二是证角等的方法不多.五．专题整理专题一、平移变换1.（2011湖北黄冈）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x6上时，线段BC扫过的面积为（）【答案】CA．4B．8C．16D．822．（2011广东台山）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为222和，对角线BD、FH都在直线L上，21OO和分别是正方形的中心，线段21OO的长叫做两个正方形的中心距。当中心2O在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH西城区教育研修学院·初三数学研修活动2015.3.26图形变换8/20LO2O1HGFEDCBA图2图1EDCBAABC的形状、大小没有改变。（1）计算：DO12，FO21。（2）当中心2O在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距21OO=3。（3）随着中心2O在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）。答案: