我对四色猜想命题的解读及证明方法的比较

我对四色猜想命题的解读及证明方法的比较摘要:本文透过事物现象,以独有的视角,对四色猜想命题的实质性问题,包括要解答的问题是什么、地图不等于平面图、“两个数字密码”、四色区分与分为四色的异同等问题进行了解读,同时,运用实例将本人的“组合说”证明方法与其他证明方法作比较,让人们在比较中作出鉴别。关键词:四色猜想解读地图证明方法比较自2009年10月以来,我在《科技资讯》和《科技创新导报》先后发表了有关研究四色猜想命题(简称为“四色命题”)方面的文章。为使人们能真正读懂和正确理解四色命题,认可“张尔光的‘组合说’”,本文想谈谈我对四色命题的解读,并将本人的证明方法与其他证明方法作个比较。1我对四色猜想命题的解读要破解一个数学命题,首先要读懂命题,正确解读命题,才能谈得上正确破解命题。要破解四色命题,其道理亦然。解读一:四色命题是一个“有设定条件、已知结果、但不知因由”的命题,它要人们作出解答的是“为什么能够做到”的问题,并非是“能否做到”的问题。事实告诉我们,于1852年弗南西斯·葛斯里提出的四色命题,来自于“无论多么复杂的地图,只消用四种色调就足以将相邻区域区分开”(引自《古今数学趣话》第9页)现象。葛斯里对这个现象(即着色结果)感到不解,并认为这是个数学问题,于是便写信给他哥哥(数学家),以求得到数学解答。然而他哥哥也解答不了,他哥哥又写信给自己的老师德·摩根(大数学家),请作出解答。老师同样解答不了……由此看出,葛斯里完全知道四色区分这一着色结果,他提出的命题包含着“相邻区域不能同着一色”这个前提条件及“完全能够做到”和“为什么能够做到”两层含义,要人们解答的不是“能否做到”的问题,而是“为什么能够做到”的问题。解读二:地图是四色命题中的一个关键词,地图与平面图是两个截然不同的概念。要破解四色命题,必须读懂“地图”这个词。这里说的“读懂”,是指要弄清楚地图的载体是什么、地图的形成原理、地图的结构模式以及其区域与区域之间的关系是什么。我对“地图”是这样解读的:所谓“地图”,是展现在球体表面、由若干区域(国家)组合形成的整体。这个解读表达了三个意思:(1)球体表面是地图的载体,研究四色命题时不应漏缺“物体表面”这个要素;(2)地图是组合的整体,并非是排列的整体;(3)如把“地图”解读为“平面图”(或混为一谈),那肯定是一种误读。这有事实为证。事实1,地图原本是展现在球体表面的图,平纸上的地图,只不过是将球体表面的图“移”到平体表面来展现而已。因此,地球仪上的地图与平纸上的地图是有区别的,前者的经纬线是直线,后者的经纬线是弧线。这个“弧线”,既是球体与平体的区别标志,也是地图与平面图的区别标志。事实2,同胚体不等于同一体。我们知道,圆形、方形、五角星形都是由一条AB线集合而成的区域,它们之间可拓扑置换,但不是同一体,当它们以“面”出现时,圆形面不等于是方形面、五角星形面。同样的道理,平体、球体、钻石体、方体、圆锥体等,其物体表面的全相邻力均为“L=4”(即只能做到使“4个面”全相邻),它们是同胚体,可拓扑置换。这仅是从拓扑学角度来说的。但当它们成为图的载体时,就有了本质的区别,比如球体与平体,地图上的经纬线的不同,就是最好的例证;又比如圆锥体与钻石体,如要将钻石体表面的图“移”到圆锥体表面来展现,同时又要将钻石体12个“棱面”之间的区域与区域之间的关系表达清楚,恐怕不容易做到。可见,当成为图的载体时,此同胚体不等于彼同胚体,它们之间是有本质区别的。解读三:四色命题不是一个仅局限于对“平(球)体表面的图(即地图,下同)的仅需着色种数”研究的命题。由于球体表面的图和平体表面的图均仅需4色区分,致使人们把球体与平体误读为同一体,把两种物体表面的图归之为平面图,其研究也仅局限于对“平面图(即平、球体表面的图)的仅需着色种数”的研究。其实,假如将球体与平体解读为属于同胚体的两个物体,又将环体表面的图仅需着色种数大于4这个事实联系起来,那么,四色命题的研究应当包含“为什么同胚体表面的图其仅需着色种数相同”、“为什么非同胚体表面的图其仅需着色种数不相同”这两个子命题的研究。因为,弄清楚了这两个子命题的同异之“因”,也就找到了“为什么平、球体表面的图同为仅需4色区分”之因。所以,四色命题不是一个仅局限于对“平(球)体表面的图的仅需着色种数”研究的命题,其研究的外延应扩伸到对“其它物体表面的图的仅需着色种数”的研究(这就好比研究地球的生命起源要把研究的外延扩伸到对其它星球的生命研究一样)。解读四:“地图的区域与区域之间(即图的面与面之间,下同)的关系是什么关系”,这是四色命题的一个重要“数字密码”。地图的区域与区域之间的关系是相邻关系和非相邻关系,这是常识问题。但当将这种“相邻关系和非相邻关系”用数学数字表达出来时,它是一种什么关系呢。这乃是破解四色命题的一个重要“数字密码”。因为,事实证明,图的需用色数的决定因素不是面的数量,而是图的面与面之间关系。因此,要破解四色命题,就得先将“地图的区域与区域之间的关系”用数学数字表达出来,方可弄清楚这个数学数字与色数数字之间的内在联系。这就是“数字密码”的原因所在。解读五:“四色区分”与“分为四色”,两者“‘分’的等式”相同,只是“‘分’的条件”不同,“地图为什么仅需四色区分”的依据是四色命题的另一个重要“数字密码”。为说清楚这个问题,试举“人”这个例子。我们把“人(N个人)”分为若干群,在没设定条件下,随意分为2群、3群、4群……n群人,均为成立。那么,设定以“年龄段”为条件,把“人(N个人)”分为若干群,如设2个年龄段,则可分2群人;如设3个年龄段,则可分3群人;如设4个年龄段,则可分4群人……如设n(n＜N)个年龄段,则可分n群人,均可成立。显然,两者“‘分’的等式”相同,均可表示为“n群(人)=”,但两者“‘分’的条件”不同,前者是随意分的,后者是以“年龄段”段数为依据的。同样的道理,在对“四色区分”的理解上,“四色区分”与“分为四色”,两者“‘分’的等式”相同(均为),所不同的是“‘分’的条件”,“分为四色”是随意分法,不受面与面之间关系的条件限制,而“四色区分”是在“相邻区域不能同着一种颜色”的条件下进行的,是有条件分法。在这里,要指出的,“相邻区域不能同着一种颜色”是“地图仅需四色区分”的条件,并不是依据。可知,不论地图以多少种颜色区分和分为多少种颜色,其区分等式都是成立的,而“地图仅需四色区分”的依据是一个什么数字,这才是四色命题中真正要破解的“密码”。又事实告诉我们,2个面相邻需2色区分,3个面全相邻需3色区分,4个面全相邻需4色区分……据此推断,平、球体表面的全相邻力能做到使“几个面”全相邻,便是“地图仅需四色区分”的依据,而“物体表面的全相邻力”是“物体表面的图仅需着色种数”的依据。本人的研究结果与此推断完全吻合。2本人的证明方法与其他证明方法的比较就四色命题来说,不同的解读,其破解的思路和证明方法也不同。有比较才有鉴别。本人的证明方法与其他证明方法,究竟哪一种证明方法才是破解四色命题的正确方法呢？不妨通过比较来鉴别。2.1本人的比较法与穷举法的比较本人遵循“为什么能够做到”的思路,应用“同中求同,同中求异,异中异,异中求同”的证明方法求得:一字状结构的图,不论其图的面的数量是多少,仅需2色区分,是在于其图的相邻面的组合力为C;梳子状结构的图,不论其图的面的数量是多少,仅需3色区分,是在于其图的相邻面的组合力为C;梯子状结构的图,不论其图的面的数量是多少,仅需4色区分,是在于其图的相邻面的组合力为C,并进而求得“图的相邻面的组合力C的n”与“图的着色种数S”具有等于关系。那么,依照“能否做到”论者的穷举法求证,则是,一字状结构的图,当其图的面的数量为3、4、5……n个时,能否做到2色区分;梳子状结构的图,当其图的面的数量为4、5、6……n个时,能否做到3色区分;梯子状结构的图,当其图的面的数量为5、6、7……n个时,能否做到4色区分。无疑,其证明结果必定是“能否做到”四字,但对于“为什么能够做到”永远不会有正确答案,也不可能求得“C的n=S”这种关系。同样,本人应用比较法求得,平、球体表面的图不论其图的面的数量是多少,仅需4色区分,是在于其物体表面的全相邻力L=4,其图的相邻面的组合力为C;环体表面的图不论其图的面的数量是多少,仅需5色区分,是在于其物体表面的全相邻力L=5,其图的相邻面的组合力为C;丁环体表面的图不论其图的面的数量是多少,仅需6色区分,是在于其物体表面的全相邻力L=6,其图的相邻面的组合力为C,并进而求得“物体表面的全相邻力”(L)、“物体表面的图的最高相邻面的组合力”(C)、“物体表面的图仅需着色种数”(S)三者关系的定理为:L=C的n=S。那么,依照“能否做到”论者的穷举法求证,则是,平、球体表面的图,当其图的面的数量为5、6、7……n个,又图的面与面之间关系发生变化时,能否做到4色区分;环体表面的图,当其图的面的数量为6、7、8……n个时,能否做到5色区分;丁环体表面的图,当其图的面的数量为7、8、9……n个,又图的面与面之间关系发生变化时,能否做到6色区分。无疑,这得借用机器来证明,其证明结果必定是“能否做到”四字,但对于“为什么能够做到”永远不会有正确答案,更不可能通过对各物体表面的图仅需着色种数的同异原因而求得“L=C的n=S”的定理。2.2本人“组合说”证明方法与“两顶(即“两点”)连线”的证明方法的比较本人以图的形成原理为切入点,求证到图的面与面之间的相邻关系和非相邻关系均为C组合关系,图的结构模式是C组合模式。“两顶连线”的证明方法是数学界认可的证明方法。那么,这两种证明方法哪一种才是四色命题的可靠的证明方法呢？试举例作证明比较。如图1、图2,是我国高等院校”图论”教材中有关“着色理论”的两个例图。图1是图2“加上新边υ4υ6,υ3υ5,υ5υ7得到的图”,该书以此证明并得出结论:“添加上新边只能色数不减,甚至变大。”图3是应用“组合说”证明方法将图1、图2完整表达后的图表。从图1、图2与图3的比较中可知,“两顶连线”的证明方法对“添加上新边只能色数不减,甚至变大”的结果未能说出其“所以然”,而“组合说”证明方法对此结果能说出其“所以然”:图1“添加上新边”后,虽是相邻点(即边)增加了,但其图的相邻面的组合力并没有升降,仍为C,故色数仍为4。坦诚地说,这不能说“两顶连线”的证明方法是错误的证明方法,而问题是在于应用此证明方法时存在欠缺的地方:其一,图中表达的内容欠完整,即只表达“两两相邻”关系,不表达“两两非相邻”关系。这只能说是“半个图”;其二,证明的程序欠完整,即是将面置换为顶(或点)、添加上连接线后,就直接进入证明程序,漏缺了将“两两相邻”关系和“两两非相邻”关系以组合数字完整记录下来,并循序对号入座到组合模式中去这个程序。正因为如此,不可能证明到图的结构模式是C组合模式,更谈不上从图的C组合模式中发现更多的东西。诚然,在应用“两顶连线”的证明方法时,假如表达的内容和证明的程序都是完整的(见图3),那么,其证明结果与本人证明方法的证明结果则必是殊途同归。正因为表达内容欠完整和漏缺了必要的程序,致使应用“两顶连线”的证明方法对地图(即四色猜想)的证明,乃是应用拓扑原理创造出新的假象(即平面图)来证明原来的假象(即地图)的证明而已。2.3本人的五点连接证明图与K图的比较图4是K5图,即是五色区分图。无疑,如按图4所表达的那样,图中的10条线均为连接线,表明5个点全连接,需5色区分。但如将它展现在平体表面,是不可能实现的图(地图)。因为,事实证明,平体表面不能做到五个点(面)全连接。图5是本人对平体表面不能做到五个点全连接的证明图。图中的实线是表示连接线,虚线是表示非连接线。因①与⑤两个点非连接线,故图中五个点不能做到全连接,图的相邻面组合力为C,需4色区分。图4、图5两个图同为由5个点10条线组成,所不同的,图4的10条线均为实线,图5的10条线为9条实线、1条虚线。这“1条虚线”之差,就是本人的“组合说”证明方法与“两顶连线”的证