历年初中数学竞赛试题精选

数学竞赛专项训练（9）－1初中数学竞赛专项训练1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A.111B.1000C.1001D.1111解：依题意设六位数为abcabc，则abcabc＝a×105＋b×104＋c×103＋a×102＋b×10＋c＝a×102（103＋1）＋b×10（103＋1）＋c（103＋1）＝（a×103＋b×10＋c）（103＋1）＝1001（a×103＋b×10＋c），而a×103＋b×10＋c是整数，所以能被1001整除。故选C方法二：代入法2、若2001119811198011S，则S的整数部分是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221S，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022200120011221S，从而知S的整数部分为90。3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n≤100）学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。数学竞赛专项训练（9）－24、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A.m(1+a%)(1-b%)元B.m·a%(1-b%)元C.m(1+a%)b%元D.m(1+a%b%)元1.解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。应选C5、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abcabcccbbaa的所有可能的值为（）A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-22.解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。①当a，b，c为两正一负时：0||||||||1||1||||||abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，；②当a，b，c为两负一正时：0||||||||1||1||||||abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，由①②知||||||||abcabcccbbaa所有可能的值为0。应选A6、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则bcabac的值为（）A.21B.22C.1D.2解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°，所以DB＝2C，AD＝C23。cABCab数学竞赛专项训练（9）－3在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－2C）2＝b2－43C2，整理得a2＋c2=b2＋ac，从而有1))((22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabac应选C7、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则baba的值为（）A.3B.6C.2D.3解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于ab0，得abbaabba26，，故3baba。应选A8.已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）A.0B.1C.2D.33]2)1()1[(21211])()()[(21222222222原式　　　，，　　　又，解：accbbaaccbbacabcabcba9、已知abc≠0，且a+b+c＝0，则代数式abccabbca222的值是（）A.3B.2C.1D.03)()()()()()(ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb　　　　　　　　　　　　　　解：原式10、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即数学竞赛专项训练（9）－4降价的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为＿＿＿＿＿解：设该商品的成本为a，则有a(1+p%)(1-d%)=a，解得p100p100d11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x＋1)·y=z2＋9，所以x＋1，y是t2－6t＋z2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z2＋9）＝－4z2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。所以x+2y+3z＝812.气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x等于（）A.7B.8C.9D.10选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9。13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时1v、2v、3v、4v千米，且满足1v＞2v＞3v＞4v＞0，其中，水v为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号？解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为441)][(vvvvvvSiii水　水　（）各艇追上④号艇的时间为44444421)()(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水　水　对1v＞2v＞3v＞4v有321ttt，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。数学竞赛专项训练（9）－51、有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水泵需7小时，若要在2小时内抽干，至少需水泵几台？2.某宾馆一层客房比二层客房少5间，某旅游团48人，若全安排在第一层，每间4人，房间不够，每间5人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？3、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过200个，后来改进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？4、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为（）A.3∶5B.4∶3C.4∶5D.3∶45、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R等于（）A.5B.7C.9D.106、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（ca）天后，剩下工作由乙单独完成还需b天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（）天A.cabB.ababcC.2cbaD.cbabc7、甲乙两辆汽车进行千米比赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有a千米（0＜a＜50）现将甲车起跑处从原点后移a千米，重新开始比赛，那么比赛的结果是（）A.甲先到达终点B.乙先到达终点C.甲乙同时到达终点D.确定谁先到与a值无关数学竞赛专项训练（9）－61、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的43，然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品，乙厂仅有31的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为＿＿＿＿＿＿＿2、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车每辆有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元，则租用该公司客车最少需用租金＿＿＿＿＿元。3、时钟在四点与五点之间，在＿＿＿＿＿＿＿时刻（时针与分针）在同一条直线上？4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按＿＿＿＿＿%的利率获得了利润（精确到一位小数）5、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇＿＿＿＿次。6、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7岁，三人的年龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年龄分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题1、某项工程，如果由甲乙两队承包，522天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，数学竞赛专项训练（9）－7433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，762天完成，需付160000元，现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？2、甲、乙两汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所订的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍，试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量？最少是多少辆？3、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。4、某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发到县城，由于汽车在赴校途中发生了故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分仍未见汽车来接，就步行走向县城，在行进途中遇到了已修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原来到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？数学竞赛专项训练（5）方程应用参考答案一、选择题1、D。解：设甲的速度为1v千米/时，乙的速度为2v千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为1v千米，到B的路程为2v千米，从而有方程：60352112vvvv，化简得012)(7)(1221221vvvv，解得34(432121vvvv不合题意舍去）。应选D。2、C。解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为864)9(6)]1(28)][1(360[2kkky　　数学竞赛专项训练（9）－8所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。3、C。解：若这商品原来