可编辑版Word完美格式排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2.乘法原理:做一件事分n步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。二.排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.!!121mnnmnnnnAmn……2.规定:0!1(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn(2)![(1)1]!(1)!!(1)!!nnnnnnnnn;(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!nnnnnnnnn三.组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数,记作Cn。1.公式:CAAnnnmmnmnmnmnmmm11……!!!!10nC规定:组合数性质:.2nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011……,,①;②;③;④11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC注:若12mm1212m=mm+mnnnCC则或可编辑版Word完美格式四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。2.解排列、组合题的基本策略(1)两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。(2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。(3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。3.排列应用题:(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来;(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑;(3).相邻问题:捆邦法:对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。(4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两可编辑版Word完美格式端的空隙之间插入。(5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法;(6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。(8).数字问题(组成无重复数字的整数)①能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:(2).“含”与“不含”用间接排除法或分类法:可编辑版Word完美格式3.分组问题:均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。4.分配问题:定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。5.隔板法:不可分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·A44=48.从而应填48.例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?解一:间接法:即65546554720212024504AAAA解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类.(1)甲排在最右端时,有55A种排法;(2)甲不排在最右端(甲不排在最左端)时,则甲有14A种排法,乙有14A种排法,其他人有44A种排法,共有14A14A44A种排法,分类相加得共有55A+14A14A44A=504种排法例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生可编辑版Word完美格式从矮到高排列,有多少种排法?分析一:先在7个位置上任取4个位置排男生,有A47种排法.剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高”,只有1种排法,故共有A47·1=840种.1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有33394570CCC种,选.C解析2:至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有2112545470CCCC台,选C.2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛奎屯王新敞新疆(1)如果4人中男生和女生各选2人,有种选法;(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有种选法;(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有种选法;(4)如果4人中必须既有男生又有女生,有种选法奎屯王新敞新疆分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题.解:(1)先从男生中选2人,有25C种选法,再从女生中选2人,有24C种选法,所以共有2254CC=60(种);(2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有2227CC=21(种);(3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数:4497CC=91可编辑版Word完美格式(种);直接法,则可分为3类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙,得到符合条件的方法数131322332171727777CCCCCCCCC=91(种).(4)在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数444954CCC=120(种).直接法:分别按照含男生1、2、3人分类,得到符合条件的选法为132231545454CCCCCC=120(种).1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为()A.40B.50C.60D.70[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A.6个B.9个C.18个D.36个可编辑版Word完美格式[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有()A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人[解析]设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2nC18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()A.45种B.36种C.28种D.25种[解析]因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()A.24种B.36种C.38种D.108种[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可编辑版Word完美格式可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34C.35D.36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A.72B.96C.108D.144[解析]分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.可编辑版Word完美格式10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20