正弦定理

第1页共9页正弦定理【预习达标】在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，1.在RtΔABC中，∠C=900,csinA=,csinB=，即sinaA=。2.在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|==，即sinaA，同理得，故有sinaA。3.在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|==，即sinaA，故有sinaA。【典例解析】一新课导入，推导公式（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例1．在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。例2如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：BDABDCAC【达标练习】1.已知ΔABC已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:Ａ３Ｂ２Ｃ3D2ABCD第2页共9页（2）已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A8B4C43-3D83-8-（3）正弦定理的内容是————————————（4）已知a+b=12B=450A=600则则则则a=------------------------，b=------------------------（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明cbaCBAsinsinsin参考答案【预习达标】1．a,b,sinsinbcBC.2.bsinAasinB,sinbB,sinaAsincC,sinbB=sincC.3..bsinAasinB,sinbB,sinbB=sincC.【典例解析】在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,A则sinsinsinabccABCbc从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABCCaB(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：第3页共9页如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB，C同理可得sinsincbCB，ba从而sinsinabABsincCAcB(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作jAC，C由向量的加法可得ABACCB则()jABjACCBAB∴jABjACjCBj00cos900cos90jABAjCBC∴sinsincAaC，即sinsinacAC同理，过点C作jBC，可得sinsinbcBC从而sinsinabABsincC类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC例1解：根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，第4页共9页00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，得sinsinBDAB，0sinsin(180)sinDCACAC，两式相除得BDABDCAC【双基达标】1．（1）C（2）D（3）sinaAsinbB=sincC.（4）36-126126-24（5）2,2.5,3，2．证明：设sinsinsinabckABC，则sin,sin,sinakAbkBckCsinsinsinsinsinsinabkAkBABckCC学校：临清二中学科：数学编写人：刘会志一审：李其智二审：马英济§1.1.2正弦定理【三维目标】：一、知识与技能1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、情感、态度与价值观1.培养学生处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【授课类型】：新授课四教学过程ABCDββα1800α第5页共9页一、知识回顾1正弦定理的内容是什么？二、例题讲解例1试推导在三角形中Aasin=Bbsin=Ccsin=2R其中R是外接圆半径证明如图所示，∠A＝∠D∴RCDDaAa2sinsin同理BbsinR2，CcsinR2∴Aasin=Bbsin=Ccsin=2R例2在CAacBbABC,,1,60,30和求中，：∵21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb，CBCBcb,,60,0为锐角，0090,30BC∴222cba例3CBbaAcABC,,2,45,60和求中，解23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,13CBb00120,15,13CBb五、巩固深化，反馈矫正1试判断下列三角形解的情况：abcOBCAD第6页共9页已知060,12,11Bcb则三角形ABC有（）解A一B两C无解2已知0110,3,7Aba则三角形ABC有（）解A一B两C无解3.在ABC中，三个内角之比3:2:1::CBA，那么cba::等于____4.在ABC中，,B=1350C=150a=5则此三角形的最大边长为_____5在ABC中，已知045,2,Bcmbxcma，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_____6.在ABC中，已知Bcbsin2，求C的度数六、小结（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使CkcBkbAkasin,sin,sin；（2）Aasin=Bbsin=Ccsin等价于Aasin=Bbsin，Bbsin=Ccsin，Aasin=Ccsin，即可得正弦定理的变形形式：1）2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC；2）sin,sin,sin222abcABCRRR；3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如BAbasinsin；2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如BbaAsinsin。一般地，已知角A边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．外接圆法）如图所示，∠A＝∠Da=bsinA有一解absinA有两解ab有一解ab有一解七板书设计略1.1.2正弦定理学案—预习达标第7页共9页1正弦定理的内容是——————————————————2在三角形ABC中已知c=10A=450C=300，则边a=---------，边b=-------，角B=------3在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=400，则角B=-------------（可借助计算器）二典例解析例1试推导在三角形中Aasin=Bbsin=Ccsin=2R其中R是外接圆半径例2在CAacBbABC,,1,60,30和求中，例3CBbaAcABC,,2,45,60和求中，三达标练习1试判断下列三角形解的情况：已知060,12,11Bcb则三角形ABC有（）解A一B两C无解2已知0110,3,7Aba则三角形ABC有（）解A一B两C无解第8页共9页3.在ABC中，三个内角之比3:2:1::CBA，那么cba::等于____4.在ABC中，B=1350C=150a=5,则此三角形的最大边长为_____5.在ABC中，已知045,2,Bcmbxcma，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_____6.在ABC中，已知Bcbsin2，求C的度数学案答案一预习达标1Aasin=Bbsin=Ccsin2102，56+523640或1160二典例解析例1证明如图所示，∠A＝∠D∴RCDDaAa2sinsin同理BbsinR2，CcsinR2∴Aasin=Bbsin=Ccsin=2R例2在CAacBbABC,,1,60,30和求中，：∵21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb，CBCBcb,,60,0为锐角，0090,30BC∴222cba例3CBbaAcABC,,2,45,60和求中，解23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAcabcOBCAD第9页共9页1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,13CBb00120,15,13CBb三达标练习1:B2；A31:3：245252x226300或1500