4.2初等行变换-逆矩阵(修正)

第1页4.2矩阵的初等行变换一、矩阵的初等行变换三、逆矩阵的概念四、逆矩阵的求法二、矩阵的秩第2页目标•记清矩阵的三种初等行变换并会用•会恰当用初等行变换•掌握逆矩阵的概念、逆矩阵所满足的运算律，理解秩的概念•会用矩阵的初等行变换求逆矩阵、秩重点•逆矩阵的概念及求法难点•准确求逆矩阵4.2矩阵的初等行变换第3页一、矩阵的初等变换（一）下列三种变换，称为矩阵的初等行变换：1.交换矩阵的两行;2.用一非零常数乘矩阵的某行;3.用常数乘矩阵的某行,加到其它的行上。例如①，②6210A211062①1031①+②×(-3)10012I第4页1.定义满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵：（1）矩阵的零行（若存在）在矩阵的最下方；（2）各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增大而严格增大（二）行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵18-40130023201-90021000000例如，矩阵和都是阶梯形矩阵。一、矩阵的初等变换第5页如果行阶梯形矩阵还满足以下条件，称为行简化阶梯形矩阵：（1）各非零行的第一个非零元素都是；（2）所有第一个非零元素所在列的其余元素都是０．2.行简化阶梯形矩阵0000310010102001110001021030001例如,矩阵和是行简化阶梯阵．A定理任何矩阵经过一系列初等行变换可化成阶梯形矩阵也可化成行简化阶梯形矩阵．一、矩阵的初等变换第6页例1将101311122121A化成简化行阶梯阵。00001531005101过程见教材例1，结果为：注意：矩阵的行简化阶梯形矩阵是惟一的，而矩阵的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是一个矩阵的阶梯形矩阵中非零行的个数是惟一的.矩阵的这一特征是矩阵重要的数字特征．一、矩阵的初等变换第7页二、矩阵的秩1.定义矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数，称为矩阵A的秩，记作秩(A)或r(A)．由定义可知求矩阵的秩，只需把它化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩．2.求法化为阶梯形阵，非零行的个数，就是矩阵的秩．132024110213A)(Ar)(Ar例2求与3)()(AArrA)()(AArr对于任意矩阵都有第8页4.满秩矩阵若n阶方阵A的秩等于n,则称A是满秩的，或非奇异阵。定理：任何满秩矩阵经过初等行变换均能化为单位阵。定理：方阵可逆的充要条件是其为满秩阵例3判断下列矩阵是否可逆？943732311A642920321B3)(ArA可逆，B不可逆。2)(Br二、矩阵的秩第9页（或称的逆）；其中为的倒数,111aaaa则矩阵称为的逆矩阵.,11EAAAAA1A三、逆矩阵的概念引入：在数的运算中，当数时，有0aaa11aa在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中E的1，如果存在一个矩阵,1A使得第10页.1BAA的逆矩阵记作例4设,21212121,1111BA,EBAAB.的一个逆矩阵是AB设n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称B为A的逆矩阵，称A是可逆阵。事实上，若AB＝BA＝E成立，则A与B互为可逆矩阵。1.逆矩阵的定义三、逆矩阵的概念第11页例50201AnnaaaA...00............0...00...02211),...,2,1(0niaii1111...00............0...00...02211nnaaaA矩阵就无逆矩阵。例6矩阵的逆矩阵为三、逆矩阵的概念第12页2.定理1AAA11)(111)(AkkATTAA)()(11111)(ABAB若A可逆，则是唯一的。3.运算律若A可逆，数k不为0，则三、逆矩阵的概念第13页四、逆矩阵的求法初等变换法：][][1AIIA例7求例3中矩阵A的逆矩阵。100943010732001311IA1111001030102310011-）（②①1111032311A第14页小结1.逆矩阵、逆矩阵运算律3.逆矩阵的计算方法、矩阵秩的求法2.逆矩阵存在1AA满秩初等变换法作业P1451，2，5第15页思考题??,11BAYBYABAXBAXA是否有唯一解矩阵方程是否有唯一解那么矩阵方程可逆若第16页思考题解答..1的唯一性决定的这是由于是的A答