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北京科技大学2012年硕士学位研究生入学考试试题=============================================================================================================试题编号：876试题名称：量子力学（共3页）适用专业：物理学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。=============================================================================================================一）选择题（多选，每题5分,共40分）（1）德布洛意的物质波假设用________把粒子的波长和动量联系起来？A.普朗克常数B.玻尔兹曼常数C.光速D.里德堡常数（2）弗兰克-赫兹实验说明：________。A.原子中存在着确定的能级；B.光的粒子性；C.光的波动性；D.角动量是量子化的；（3）以下哪些实验说明存在着自旋：________。A.斯特恩-盖拉赫实验；B.反常塞曼效应；C.卢瑟福散射；D.斯塔克效应；（4）在量子力学中，力学量（或观测量）用_______表示？A.厄米算符B.幺正算符C.泡利矩阵D.正交矩阵（5）氢原子的基态能是：________。A．–13.6eVB．13.6eVC．-6.8eVD．0eV（6）角动量大小是2h，角动量第三分量的可能测量值是：_zL_______。A．B．，C．,D．,,0h0h±h0hh0hh2h1（7）以下关于电子的陈述，正确的是：________。A．电子的自旋是1/2B．电子是玻色子C．电子是费米子D．电子的自旋是0（8）对矩阵，求解本征值问题，本征值是：__0110⎛⎞⎜⎝⎠⎟______。A．1B．–1C．D．01±二）填空题（每空5分，共40分）（１）请列举两个支持光具有波动性的实验：_______________，_______________；请列举两个支持光具有粒子性的实验：_______________，_______________。（2）线性谐振子的振荡频率为ω，根据量子力学，它的基态能是：____________。（3）粒子波函数是(ikxtAe)ω−，粒子的动量是：____________。（4）刚性转子的波函数是：imAeφ，这里φ是转角，归一化因子是：___________。A（5）物理系统由归一化波函数()()4,36,36,01,5230YYYψθϕ=+−描述，这里(,,lmY)θϕ是球谐函数。系统处在态的几率是___________。3m=三）计算题（每题10分，共70分）（1）在位置表象下，证明对易关系：[]ˆ(),dffxpidx=h。（2）自旋1/2的粒子处在量子态12iAχ+⎛⎞=⎜⎝⎠⎟，这里A是归一化因子，发现粒子处在2zS=h的几率是多少？（3）一个电子处在宽度L的无限深势井的基态上，现在井的左壁不动，井右壁突然向右迅速移动，使井宽变为2L，求电子处在新基态的概率。（4）证明在的任何一个本征态下，zLxL的平均值为0。对于的共同本征态，求2,zLL10YxL的可能测量值及相应概率。2（5）对自旋的泡利矩阵，证明：exp2yyiiσπσ⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠。（6）考虑两个自旋1/2粒子组成的系统，处在态：abcdψ=↑↑+↑↓+↓↑+↓↓，这里：（假设这里的abcd都是实数）。针对这个态测量力学量，这里的表示总自旋，即：。求：（i）力学量的可能测量值是多少；（ii）对每个可能测量值，它们的概率是多少。22221abcd+++=1SS=+rr2SSr2Sr2S（7）考虑两个无相互作用的自旋为1/2的全同费米子，在宽度为L的一维无限深势阱中运动，（i）假设两费米子处于自旋单态，求系统基态能及对应基态波函数，基态的简并度是多少；（ii）假设两费米子处于自旋三重态，求系统基态能及对应基态波函数，基态的简并度是多少。3