搜索
经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）假设三角形PBC不是正三角形，则必能在正方形内找一点Q，使三角形QBC是正三角形如图，连接QB、QC，则有QB=AB=QC=CD，角ABQ=DCQ=30度，角BAQ=BQA=CDQ=CQD=75度角QAD=QDA=15度而角PAD=PDA=15度，从而角QAD与PAD，角QDA与PDA重合，从而点P与Q重合，三角形PBC与QBC重合所以三角形PAB是正三角形。3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,从而可得∠A2B2C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。APCDBAFGCEBODD2C2B2A2D1C1B1CBDAA14、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．求∠DEN，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN＝∠MFC．连接AC,取AC中点G,连接MG,NG∵N,G是CD,AC的中点∴GN‖AD,GN=0.5DA∴∠GNM=∠DEN同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC∵AD=BC∴MG=NG∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN＝∠MFC经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：ANFECDMB·ADHEMCBO·GAODBECQPNMPCGFBQADE设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）分别过P、C、E、F作AB的垂线，垂足依次是Q、H、M、N。∵ACDE是正方形，∴∠EAM、∠CAH互余，又∠CAH、∠ACH互余，∴∠EAM＝∠ACH，∵ACDE是正方形，∴AE＝CA，显然有∠AME＝∠CHA＝90°，∴△AEM≌△CAH，∴EM＝AH。∵CBFG是正方形，∴∠FBN、∠CBH互余，又∠FBN、∠BFN互余，∴∠BFN＝∠CBH，∵CBFG是正方形，∴BF＝CB，显然有∠BNF＝∠CHB＝90°，∴△BFN≌△CBH，∴FN＝BH。由EM＝AH、FN＝BH，得：EM＋FN＝AH＋BH＝AB。由PQ⊥AB、EM⊥AB、FN⊥AB，得：FN∥PQ∥EM，又EP＝FP，∴PQ是梯形EFNM的中位线，∴由梯形中位线定理，有：PQ＝（EM＋FN）/2，结合证得的EM＋FN＝AB，得：PQ＝AB/2。经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）证明：连接BD交AC于点O，过点E作EG⊥AC.·OQPBDECNM·AAFDECB∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，OD=BD/2，∠DOC=90°，∠ACD=45°，∵EG⊥AC，∴∠EGO=90°，∴∠DOC+∠EGO=180°，∴OD//EG，又∵OG//DE，∴四边形DOGE是矩形，∴DO=EG=BD/2=AC/2，∵AE=AC，∴在Rt△AGE中，EG=AE/2，∠ACE=∠AEC，∴∠EAG=30°，∴∠AEC+∠ACE=180°-∠EAG=180°-30°=150°，∴∠AEC=∠ACE=150°÷2=75°，∴∠ECF=∠ACE-∠ACD=75°-45°=30°，∴∠EFC=180°-∠ECF-∠FEC=180°-30°-75°=75°，∴∠EFC=∠CEF，∴CE＝CF.2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）过E，D分别做AC的垂线交点为G，H∵AC是正方形ABCD的对角线∴DH=AC/2∵ED//AC∴EG=DH∵AC=AE∴DH=AE/2∴在Rt△EGC中，∠ECG=30°∴∠CEA=∠CAE=75°∵∠DCA=45°∴∠DCF=15°∴∠EFA=∠DFC=75°∴∠EFA=∠FEA∴AE=AF3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）证明：【此题见过，E应为BC延长线上的点】DEDACBFAEPCBA在AB上截取AG=PC，连接PG∵ABCD是正方形∴AB=BC，∠B=∠DCB=∠APF=90º【∵PF⊥AP】∵AC=CP∴BG=BP【等量减等量】∴∠BGP=∠BPG=45º∴∠AGP=180º-∠BGP=135º∵CF平分∠DCE∴∠FCE=45º∴∠PCF=180º-∠FCE=135º∴∠AGP=∠PCF∵∠BAP+∠APB=90º∠FPC+∠APB=90º∴∠BAP=∠FPC【加上∠AGP=∠PCF，AG=PC】∴⊿AGP≌⊿PCF（ASA）∴PA=PF4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BEODBFAECPAPCB因为DP//AE，AD//PE所以，四边形AEPD为平行四边形所以，∠PDA=∠AEP已知，∠PDA=∠PBA所以，∠PBA=∠AEP所以，A、E、B、P四点共圆所以，∠PAB=∠PEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC所以，PE//BC，且PE=BC即，四边形EBCP也是平行四边形所以，∠PEB=∠PCB所以，∠PAB=∠PCB3、Ptolemy（托勒密）定理：设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）连接DF，DE，过点D做DM⊥CF，DN⊥AE△CFD的面积=1/2平行四边形的面积△AED的面积=1/2平行四边形的面积S△CFD=S△AED1/2CF×DM=1/2AE×DNAE=CFDM=DN：∠DPA＝∠DPC．，到角两边距离相等的点在角的平分线上PADCBCBDAFPDECBA经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，l＝PA＋PB＋PC，求证：≤l＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．APCBACBPDEDCBAACBPD