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1专题四功、功率与动能定理【2013考纲解读】功、能、能量守恒是近几年高考理科综合物理命题的重点、热点和焦点，也是广大考生普遍感到棘手的难点之一．能量守恒贯穿于整个高中物理学习的始终，是联系各部分知识的主线．它不仅为解决力学问题开辟了一条重要途径，同时也为我们分析问题和解决问题提供了重要依据．守恒思想是物理学中极为重要的思想方法，是物理学研究的极高境界，是开启物理学大门的金钥匙，同样也是对考生进行方法教育和能力培养的重要方面．因此，功、能、能量守恒可谓高考物理的重中之重，常作为压轴题出现在物理试卷中．纵观近几年高考理科综合试题，功、能、能量守恒考查的特点是：①灵活性强，难度较大，能力要求高，内容极丰富，多次出现综合计算；②题型全，不论是从内容上看还是从方法上看都极易满足理科综合试题的要求，经常与牛顿运动定律、圆周运动、电磁学和近代物理知识综合运用，在高考中所占份量相当大．从考题逐渐趋于稳定的特点来看，我们认为：2013年对功、能、能量守恒的考查重点仍放在分析问题和解决问题的能力上．因此在第二轮复习中，还是应在熟练掌握基本概念和规律的同时，注重分析综合能力的培养，训练从能量守恒的角度分析问题的思维方法．【知识网络构建】【重点知识整合】2一、求功的方法比较1．恒力做功的求法(1)应用公式W＝Fscosα其中α是F、s间的夹角．(2)用动能定理(从做功的效果)求功：2122kk1122WEEmvmv＝－＝－此公式可以求恒力做功也可以求变力做功．特别提醒：(1)应用动能定理求的功是物体所受合外力的功，而不是某一个力的功．(2)合外力的功也可用W合＝F合scosα或W合＝F1s1cosα＋F2s2cosα＋…求解．2．变力做功的求法名称适用条件求法平均值法变力F是位移s的线性函数W＝Fscosα图象法已知力F与位移s的F－s图象图象下方的面积表示力做的功功率法已知力F做功的功率恒定W＝Pt转换法力的大小不变，方向改变，如阻力做功，通过滑轮连接将拉力对物体做功转换为力对绳子做功，阻力做功W＝－Ff·s功能法一般变力、曲线运动、直线运动W合＝ΔEk或W其他＝ΔE特别提醒：(1)摩擦力既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．(2)相互摩擦的系统内：一对静摩擦力做功的代数和总为零，静摩擦力起着传递机械能的作用，而没有机械能转化为其他形式的能；一对滑动摩擦力做功的代数和等于摩擦力与相对路程的乘积，其值为负值，W＝－Ff·s相对，且Ff·s相对＝ΔE损＝Q内能．二、两种功率表达式的比较1．功率的定义式：P＝Wt，所求出的功率是时间t内的平均功率．2．功率的计算式：P＝Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角，该公式有两种用法：(1)求某一时刻的瞬时功率．这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；(2)当v为某段位移(时间)内的平均速度时，则要求这段位移(时间)内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率．特别提醒：公式P＝Fvcosθ在高中阶段常用于机车类问题的处理，此时P指发动机的输出功率，F为牵引力，Ff为阻力，则任一时刻都满足P＝F·v，机车任一状态的加速度a3＝F－Ffm，当机车匀速运动时，F＝Ff，P＝F·v＝Ff·v.三、对动能定理的理解1．对公式的理解(1)计算式为标量式，没有方向性，动能的变化为末动能减去初动能．(2)研究对象是单一物体或可以看成单一物体的整体．(3)公式中的位移和速度必须是相对于同一参考系，一般以地面为参考系．2．动能定理的优越性(1)适用范围广：应用于直线运动，曲线运动，单一过程，多过程，恒力做功，变力做功．(2)应用便捷：公式不涉及物体运动过程的细节，不涉及加速度和时间问题，应用时比牛顿运动定律和运动学方程方便，而且能解决牛顿运动定律不能解决的变力问题和曲线运动问题．【高频考点突破】考点一功的计算功的计算在高中阶段占有十分重要的地位，涉及功的计算问题，要掌握以下三点：1．判断力是否做功的方法：恒力作用时用力和位移的夹角判断，变力作用时一般用力和速度的夹角判断．2．做功的求法：恒力做功应用W＝Fscosθ，变力做功优先考虑动能定理或将变力转化为恒力．3．整体法求功：涉及连接体的问题，若不涉及内力做功，一般优先考虑整体法．例1、如图5－1所示，竖直平面内放一直角杆，直角杆的水平部分粗糙，动摩擦因数μ＝0.20，竖直部分光滑，两部分各套有质量为2.0kg和1.0kg的小球A和B，A、B间用细绳相连，初始位置OA＝1.5m，OB＝2.0m，g取10m/s2，则4图5－1(1)若用水平拉力F1沿水平杆向右缓慢拉A，使之移动0.5m，该过程中A受到的摩擦力多大？拉力F1做功多少？(2)若小球A、B都有一定的初速度，A在水平拉力F2的作用下，使B由初始位置以1.0m/s的速度匀速上升0.5m，此过程中拉力F2做功多少？考点二功率的计算公式P＝F·vcosθ的应用在解题过程中的几种情况：1．计算某一力的瞬时功率，若力F与速度v之间有夹角θ，则P＝Fvcosθ，体现分解F或v的思想；若F与v共线同方向，则P＝F·v.2．计算机车启动类问题时，牛顿第二定律Pv－f＝ma和匀速状态时P额＝f·vm两公式的联合应用．3．对恒定功率问题，也可用动能定理的形式Pt－f·s＝12mvt2－12mv2.例2、如图5－3所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B静置于水平面．t＝0时，电动机通过水平细绳以恒力F拉木板B，使它做初速度为零、加速度aB＝1.0m/s2的匀加速直线运动．已知A的质量mA和B的质量mB均为2.0kg，A、B之间的动摩擦因数μ1＝0.05，B与水平面之间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度g取10m/s2.求：5图5－3(1)物体A刚运动时的加速度aA；(2)t＝1.0s时，电动机的输出功率P；(3)若t＝1.0s时，将电动机的输出功率立即调整为P′＝5W，并在以后的运动过程中始终保持这一功率不变，t＝3.8s时物体A的速度为1.2m/s.则在t＝1.0s到t＝3.8s这段时间内木板B的位移为多少？F－μ1mAg－μ2(mA＋mB)g＝mBaB④(6分)电动机输出功率P1＝Fv1⑤(7分)由③④⑤并代入数据解得P1＝7W．⑥(9分)(3)电动机的输出功率调整为5W时，设细绳对木板B的拉力为F′，则P′＝F′v1⑦(10分)代入数据解得F′＝5N⑧(11分)木板B受力满足F′－μ1mAg－μ2(mA＋mB)g＝0⑨(13分)所以木板B将做匀速直线运动，而物体A则继续在B上做匀加速直线运动直到A、B速度相等．设这一过程时间为t′，有v1＝aA(t＋t′)⑩(14分)这段时间内B的位移s1＝v1t′⑪(15分)A、B速度相同后，由于F′＞μ2(mA＋mB)g且电动机输出功率恒定，A、B将一起做加速度逐渐减小的变加速运动，由动能定理得6P′(t2－t′－t1)－μ2(mA＋mB)gs2＝12(mA＋mB)2Av－12(mA＋mB)21v⑫(17分)联立②③⑩⑪⑫并代入数据解得木板B在t＝1.0s到t＝3.8s这段时间内的位移s＝s1＋s2＝3.03m(或取s＝3.0m)．(20分)【答案】(1)0.5m/s2(2)7W(3)3.03m(或3.0m)考点三动能定理的应用动能定理是力学的基本规律，在应用动能定理分析解决问题时，要注意以下几点：1．研究对象一般是单个物体，分析的过程可以是单一过程，也可以是几个过程组成的复杂过程，物体的运动可以是直线运动也可以是曲线运动．2．分析研究对象的受力情况(包括重力)，各力是否做功，做正功还是负功，并分别求出各力做功的代数和，但要注意求功时，位移必须是相对地面的．3．确定过程始、末状态的动能．4．利用动能定理列方程求解，要注意方程的左边是功，右边是动能的变化量．例3、如图5－5甲所示为游乐场中过山车的实物图片，图乙是过山车的模型图．在模型图中，半径分别为R1＝2.0m和R2＝8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α＝37°的倾斜直轨道平面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜直轨道之间圆滑连接．现使小车(视作质点)从P点以一定的初速度沿斜直轨道向下运动．已知斜直轨道与小车间的动摩擦因数为μ＝124，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：(1)若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？(2)若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？7【解析】(1)设小车经过A点时的临界速度为v1，根据牛顿第二定律有211mvmgR＝设Q点与P点高度差为h1，PQ间距离为L1，则L1＝R1＋cosαsinα设小车在P点的初速度为v01，从P点到A点的过程中，由动能定理得－(μmgcosα)L1＝12小车能安全通过两个圆形轨道的临界条件，是在B点速度为v2时，由牛顿第二定律知，小车满足mg＝mv22R2设小车在P点的初速度为v02，从P点到B点的过程中，由动能定理得：－μmgcosαL2＝12mv22－12mv202解得：v02＝46m/s因为46m/s＜10m/s，故能安全通过两圆形轨道．【答案】(1)26m/s(2)能【难点探究】难点一变力做功问题1．当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求力对位移的平均值再由恒力做功的公式W＝Fxcosα求功，如弹簧弹力做的功．2．大小不变、方向变化的力做的功(如滑动摩擦力、空气阻力等在曲线运动或往复运动中做的功)：W＝Fs，s为运动质点通过的路程．83．与势能对应的力(如重力、弹簧的弹力、电场力)做的功等于运动质点相应势能的减少量．4．作出变力F随位移x变化的图象，图线与坐标轴所围的“面积”表示变力做的功．如图所示，图线下方的对应面积等于变力做的功．5．当变力的功率一定时(如机车以恒定功率运行)，变力做的功W＝Pt；当变力的功率变化时，可利用平均功率求功，W＝6．利用动能定理求变力做的功，或用功能关系W＝ΔE求变力做的功，即用能量的增量等效变换变力所做的功，如求重力、弹簧弹力做的功．例1一质量为m的物体静止在水平面上，在水平方向的拉力F作用下开始运动，在0～6s内其运动的速度—时间图象与拉力的功率—时间图象如图2－5－2所示，取g＝10m/s2，下列判断正确的是()图2－5－2A．拉力F的大小为4N，且保持不变B．物体的质量为2kgC．0～6s内物体克服摩擦力做功24JD．0～6s内拉力做的功为156J【答案】BD【解析】由图象可知，t＝2s后物体做匀速直线运动，则F2＝f，由速度为6m/s，P2＝F2v，故f＝F2＝Pv＝4N．由速度图象知，物体在0～2s内做匀加速直线运动，加速度大小a＝ΔvΔt＝3m/s2，由于t＝2s时，v＝6m/s，P1＝60W，此时拉力F1＝P1v＝10N，在0～92s内，由牛顿第二定律F1－f＝ma，可得m＝2kg，选项A错误、B正确．由速度图象可知物体在前2s内的位移x1＝6m，在后4s内的位移为x2＝24m,6s内物体克服摩擦力做功Wf＝f(x1＋x2)＝120J,6s内拉力做的功为W＝F1x1＋F2x2＝156J，选项C错误、D正确．【点评】本题综合考查了运动图象、功率图象、牛顿第二定律、功率及变力做功等相关知识．对分段图象问题，要在明确题意的基础上，对各段分别进行研究，并找出联系相邻两段的物理量．对函数图象问题，还特别要注意函数方程和函数图象是一一对应的关系．难点二功率的计算问题1．平均功率：P－＝Wt，P－＝Fv－cosα(v－是平均速度)．2．瞬时功率：P＝Fvcosα(v是瞬时速度，α是力F与瞬时速度之间的夹角)．重力的瞬时功率PG＝mgvcosα＝mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度的乘积．注意：功和功率的概念易与v－t图象、F－t图象等函数图象一起综合考查，一般可通过v－t图象求得位移，通过F－t图象读出力，然后利用W＝Fxcosα、P＝Fvcosα等公式求解．例2、一质量为1kg的质点静止于光滑