2012年4月自考线性代数真题及答案

全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式111213212223313233aaaaaaaaa=2,则111213212223313233232323aaaaaaaaa=()A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A=120120003,则A*中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A为3阶矩阵，且|A|=3，则1()A=()A.3B.13C.13D.34.已知43矩阵A的列向量组线性无关，则AT的秩等于()A.1B.2C.3D.45.设A为3阶矩阵,P=100210001,则用P左乘A，相当于将A()A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列6.齐次线性方程组123234230+=0xxxxxx的基础解系所含解向量的个数为()A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A的秩为3，12，为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为()A.1212cB.1212cC.1212cD.1212c8.设A是n阶方阵，且|5A+3E|=0，则A必有一个特征值为()A.53B.35C.35D.539.若矩阵A与对角矩阵D=100010001相似，则A3=()A.EB.DC.AD.-E10.二次型f123(,,)xxx=22212332xxx是()A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式11124641636=____________.12.设3阶矩阵A的秩为2，矩阵P=001010100，Q=100010101，若矩阵B=QAP，则r(B)=_____________.13.设矩阵A=1414，B=4812，则AB=_______________.14.向量组1=(1,1,1,1),2=(1,2,3,4),3=(0,1,2,3)的秩为______________.15.设1,2是5元齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则r(A)=______________.16.非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为10002010020012-2，则方程组的通解是______.17.设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=___________.18.设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_________.19.二次型f123(,,)xxx=2221233xxx的正惯性指数为_________.20.二次型f123(,,)xxx=22212323224xxxxx经正交变换可化为标准形______________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D=351245331201203422.设A=130210002，矩阵X满足关系式A+X=XA,求X.23.设234，，，，均为4维列向量，A=（234，，，）和B=（234，，，）为4阶方阵.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.24.已知向量组1=(1,2,1,1)T,2=(2,0,t,0)T,3=(0,4,5,2)T,4=(3,2,t+4,-1)T（其中t为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.25.求线性方程组12341234123423222547xxxxxxxxxxxx的通解..（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26.已知向量1=(1,1,1)T，求向量23，,使123，，两两正交.四、证明题（本题6分）27.设A为mn实矩阵，ATA为正定矩阵.证明：线性方程组Ax=0只有零解.全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．D2.A3.B4.C5.B6.B7.A8.B9.D10.D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.1612.213.000014.215.316.2020,2201kk为任意常数17.618.319.220.22124yy三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.解：D=3512120112011201453345330133101111201351201110133120342034043204321201011110124800101216001622.解：由AXXA，可知()XAEA，则1()XAAE，且030200001AE，1211300()00001AE故1()XAAE112211331300010210001000200100223.解:234234234(,2,2,2)8[(,,,)(,,,)]840ABAB24.解：（1,2,3,4）=12031203120320420448011215402570257102102240000tttttt12031021011201120033003300000000tttt3t时，秩为2，一个极大无关组为1,23t时，秩为3，一个极大无关组为1,2,3.25.解：对增广矩阵作初等行变换112131121311213(,)121120112101121215470112100000AAb103340112100000同解方程组为13423433421xxxxxx.3x，4x是自由未知量，特解*(4,1,0,0)T导出组同解方程组为134234332xxxxxx.3x，4x是自由未知量，基础解系1(3,1,1,0)T，2(3,2,0,1)T，通解为*112212,,.kkkkR26.解：设2123=(,,)Txxx，2与1正交，则有1230xxx，故可取2==(1,0,-1)T,设3123=(y,y,y)T，3与12，两两正交，则123130=0yyyyy.故可取3=(1,2,1)T.四、证明题（本题6分）27.证明：由于ATA为正定矩阵，则秩（ATA）=n，又秩（A）=秩（ATA）=n，则线性方程组Ax=0只有零解.