西南大学网络学习线性代数作业答案

行列式部分的填空题1．在5阶行列式ija中，项a13a24a32a45a51前的符号应取正号。2．排列45312的逆序数为8。3．行列式25112214x中元素x的代数余子式是8．4．行列式102325403中元素-2的代数余子式是-11。5．行列式25112214x中，x的代数余子式是-5。6．计算00000dcba=0行列式部分计算题1．计算三阶行列式381141102解：381141102=（-4）221（）2111=-42．决定i和j，使排列1234i6j97为奇排列.解：i和j等于5或8。（1）当i=5，j=8时，排列1234i6j97则成为排列123456897，N(123456897)=2,该排列为偶排列。（2）当i=8，j=5时，排列1234i6j97则成为排列123486597，N(123456897)=5,该排列为奇排列。所以当i=8，j=5时，排列1234i6j97为奇排列。3．(7分)已知0010413xxx，求x的值．解：D=314010xxx=2x（x-2）当x=0或x=2时，D=0，所以，当x0或2x时，0010413xxx4．(8分)齐次线性方程组000zyxzyxzyx有非零解，求。解：D=1111111=2(1)如果方程组有非零解，则D=0，即1。5．用克莱姆法则求下列方程组：10329253142zyxzyxzyx解：计算行列式D=124512270311131242912811011D2131452921083101D3124512135311D所以：13DxD，24DyD，35DzD矩阵部分填空题1．计算001010100453641126=1266414532．已知矩阵A=（1，2，3），则AAT9636423213．若4阶方阵A的行列式|A|=2，则|A3|=8。4．设A为3阶矩阵，若已知mAmA则,4m．5.矩阵2311的伴随矩阵是21316．设A是3阶方阵，且A2=0，则A3=0.7．设A为2阶方阵，|A|=2，则1A12矩阵部分计算题1．已知矩阵Ａ＝2110154214321，求矩阵Ａ的秩．解：对矩阵作以下初等变换：2110154214321A228011404321791012342211110101444404110000可以看出：r（A）=22.设A=120340005,求1A解：A11500420435(1)5(2)10031021，所以A可逆。111143(1)221A,121204(1)002A,131304(1)002A,同法可得：210A,225A,2310A,310A,3215A,3320A.112131122232132333200051501020AAAAAAAAAA12001105151001020AAA=1005130220123．设A=543022001，求A*和A－1解：100220100345A,所以A可逆。易得：1110A，1210A，132A，210A，225A，234A，310A，320A，332A。于是：24205100010A，51525102110012420510001010111AAA4．设A=312021001，求A-1。解：10012060213A，所以A可逆。易得：116A，123A，133A，210A，223A，231A，310A，320A，332A。于是：213033006A316121021210012130330066111AAA5．设)(ijaA为三阶矩阵，若已知|A|=2，求||A|A|．解：162443AAAAA线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r，当r=n时，则Ax=0只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为n-r.2．设η1，η2为方程组Ax=b的两个解，则η1-η2是其导出方程组的解。3．设α0是线性方程组Ax=b的一个固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b的任意一个解β可表示为β=α0+z.4．若n元线性方程组Ax=b有解，R（A）=r，则当r=n时，有惟一解；当r＜n时，有无穷多解。5．A是m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是r（A）＜n.6．n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是r（A）=n。7线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A)。8．设1u是线性方程组Ax=b的一个特解，rnvvv,,,21是其导出组的基础解系，则线性方程组Ax=b的全部解可以表示为u=11122nrnruccc…1．求线性方程组22334731243214321421xxxxxxxxxxx的通解.解：对增广矩阵（Ab）施以以下初等变换：（Ab）=21011137431374321011321123211213743137430714770121101122111100000101100121100000所以：13423412xxxxxx取3122xcxc，（其中1c，2c为任意常数），则原方程组的通解为：112212314212xccxccxcxc2．求齐次线性方程组05105036302432143214321xxxxxxxxxxxx的一个基础解系.解：对增广矩阵（A0）施以如下初等变换：（A0）=1211012110361300040051015000400121101201000100001000010000000即原方程组与下面方程组同解：124320xxxx（其中24x，x为自由未知量）对自由未知量24xx取值1001，，即得原方程组的一个基础解系为：1221100001，3．求非齐次线性方程组的通解322212432143214321xxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵（Ab）施以如下初等变换：（Ab）=2111111213121121211211213211111121310334011210112101515006363100121033430112101002110011001122所以：14243431232112xxxxxx取4x=c（c取一切常数）则原方程组的通解为123431232112xcxcxcxc4求方程组的通解2534432312432143214321xxxxxxxxxxxx解：对增广矩阵（Ab）作初等行变换，有：211113213414352143523213421111143520141018100751151435201410181000020143525950177700010143025501077000101610077550107700010所以13234617755770xxxxx取3(xcc为任意常数），则方程组的通解为：1234617755770xcxcxcx5．已知线性方程组1324321xxxx4324321xxxx4234321xxxx6324321xxxx（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）；（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。解：（1）对增广矩阵（Ab）施以以下初等变换：（Ab）=1123111231123140114531124047117231160157810176101760114501145003272700199006330021110001010010010000011(4A4rAbr），（）（2）因为(4A4rAbr），（），即r（Ab）=r（A）故方程组有解，且r（Ab）=r（A）=n,故方程组有唯一解，其解为：12341101xxxx向量的线性关系填空题1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a=1,b=3.2．已知向量1=（1，2，3），2=（3，2，1），则31+22=（9，10，10），1-2=（-2，0，2）．3．设向量组321,,线性无关，则向量组1，1+2，1+2+3线性无关．4．设向量321,,aaa线性无关，则3212,,aaa线性无关。5．设向量321,,aaa线性无关，则向量0,,,321aaa线性相关．6.4321,,,是3维向量组,则4321,,,线性相关.7．零向量是线性相关的，非零向量α是线性无关的.线性关系部分证明题（注：下面的题目中只需选做3道题即可）1证明：如果向量组,,线性无关，则向量组,,亦线性无关．证：设123()()()0kkk，即：131223()()()0kkkkkk因为向量组,,线性无关，故系数全为零，即：1312123230000kkkkkkkkk所以向量组,,亦线性无关。2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表示，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？4．已知)2,5,3(),0,2,2(),1,0,