平面向量

平面向量【知识概要】1.基本概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.5．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．6.常用结论（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）||||||||||||ababab，特别地，当ab、同向或有0||||||abab||||||||abab；当ab、反向或有0||||||abab||||||||abab；当ab、不共线||||||||||||ababab(这些和实数比较类似).【课堂练习】1.在四边形ABCD中，AB=DC，且||||ABBC，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形2．判断下列命题的真假：（1）向量可以比较大小：如ab（）（2）如果两个向量的模相等且方向相反，则这两个向量平行（）（3）任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关（）（4）ABDC，则A、B、C、D四点构成平行四边形（）（5）凡模相等且平行的两向量均相等（）（6）向量AB与BA是两个平行向量（）（7）向量AB的长度与向量BA的长度相等（）3.如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD（）A．BABC21B．BABC21C．BABC21D．BABC214.（1）ABBCCDDEEA__________；（2）ABADDC__________；（3）ABDECDBE__________．（4）下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_4,5______5.正六边形中，OAa，OEb，用向量a、b来表示AB、AE、AC、OB、OC、OF．6.如图，已知向量ABa，ADb，120DAB，且3ab，求：ab、ab．7.已知a、b是以O为起点的两个非零向量，且3abab．求ab；8.已知：如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标(6,0)，点P在第二象限，且为向量PA、PB的起点，8PA，6PB．（1）求点P的坐标：（2）求和向量PAPB的模．xyOPBA9.下列命题中正确的是()．A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行10.给出下列命题：①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a与b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中正确命题的序号是________．11.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()．A.AD→＋BE→＋CF→＝0B.BD→－CF→＋DF→＝0C.AD→＋CE→－CF→＝0D.BD→－BE→－FC→＝012.若正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc，则||abc＝_22____13.若O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC的形状为_直角三角形___14.若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0PABPCP，设||||APPD，则的值为_2__15.若点O是ABC△的外心，且0OAOBCO，则ABC△的内角C为___120°_16.在△ABC中，nmACnABmAPPRCPRBAR则若,,2,2()A．32B97C．98D．117.已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足OCOBOAOP)21()1()1(31)0(且R,则P的轨迹一定通过ABC的A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点18.设点P是ABC内一点（不包括边界），且(,)APmABnACmnR，则22223mnmn的取值范围是.19.已知向量)3,2(a，)2,1(b，若bnam与ba2共线，则nm=.20.已知向量ba,满足bababa，则2,2,121.如图，设P为△ABC内一点，且，求△ABP的面积与△ABC的面积之比22．手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作，则＝.解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形.相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为.则.共有12个相等项.所以求得数量积之和为23.△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。（1）求证：（2）求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。思考：△ABC不是直角三角形，O为外心，H为垂心，△ABC满足什么条件，才能使得AH=OA?【证明】（1）设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AHBC，所以AH//CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。所以所以首先=（2）所以，所以与共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。【课后作业】一.选择题1.正实数,xy满足1xy,那么44114xy的最小值为:()(A)12(B)58(C)1(D)22.33333333(21)(31)(41)(1001)(21)(31)(41)(1001)的值最接近于:()(A)12(B)23(C)35(D)583.如图1,ΔABC中,AB=AC,∠A=40O,延长AC到D,使CD=BC,点P是ΔABD的内心,则∠BPC=:()(A)145O(B)135O(C)120O(D)105O4.,,,abcd为两两不同的正整数,且,abcdabcd,则满足上述要求的四元数组,,,abcd共有:()(A)4组(B)6组(C)8组(D)10组5.ΔABC的三边长皆为整数,且24abcbca,当ΔABC为等腰三角形时,它的面积的答案有:()(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种6.ΔABC的∠A,∠B皆为锐角,CD是高,已知2()ADACDBBC,则ΔABC是:()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形二.填空题.1.使方程1223xxxc恰好有两个解的所有实数c为.2.如图2,正方形ABCD中,延长边BC到E,AE分别交BD,CD于点P,Q.当AP=QE时,PQ:AE=.3.如图3,ΔABC内接于⊙O,,,BCaCAb∠A∠B=90O,则⊙O的面积为.4.某中学生暑期社会调查团共17人到几个地方去考察,事先预算住宿费平均每人每天不超过x元.一日到达某地,该地有两处招待所A,B.A有甲级床位8个,乙级床位11个;B有甲级床位10个,乙级床位4个,丙级床位6个.已知甲,乙,丙床位每天分别为14元,8元,5元.若全团集中住在一个招待所里,按预算只能住B处,则整数x=.三、解答题1.如图4,在圆外切凸六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥FA.求证:凸六边形ABCDEF是中心对称图形.2.试求出所有这样的正整数a使得关于x的二次方程22(21)4(3)0axaxa至少有一个整数根.