4.11.1已知三角函数值求角1

4.11已知三角函数值求角（1）已知任意一个角（角在三角函数定义域内），可以求出它的三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，可以求出与它对应的角？例?22sinxx则，若Rxxy，sin22y-11yx0323222474544349411?4x有且只有1例；求，，且，若xxx]22[22sin)1(.]20[22sin)2(的取值集合求，，且，若xxx解：是增函数，在]22[sin)1(xx224sin且.4x22sin)2(x.是第一或第二象限角x）（又4sin，224sin.}434{，的取值集合x，02(3)sin[02].2xxx若，且，，求的取值集合022sinx.是第三或第四象限角x）（又4sin224sin.}4745{，的取值集合x解：）（42sin224sin，有且只有一个的角件性质，为了使符合条根据正弦函数的图象的xaax)11(sin，的反正弦，叫做实数的角条件在这个闭区间上，符合axaax)11(sin，即，记作axaarcsinarcsin.sin]22[xax且，，其中.]22[作为基本的范围，我们选择Rxxy，sinya-11yx0323222说明：；，，中2arcsin211arcsin.1aaa；对应有唯一的一个角与实数，中在aa2arcsin2.2.]11[)sin(arcsin.3，，aaa例如4，22arcsin43，22arcsin47.22arcsin245，22arcsin，4，4.421.1;aarcsinarcsin1a2直角；2.01;aarcsina锐角；3.0;aarcsinarcsin0a0零角；4.10;aarcsina“负”锐角；5.1;aarcsinarcsin(1)a2(0,)2(,0)21例；求，，且，若xxx]22[22sin)1(.]20[22sin)2(的取值集合求，，且，若xxx解：.4，022sin)2(x.是第一或第二象限角x）（又4sin，224sin.}434{，，，且，]22[22sin)1(xx22arcsinx.}22arcsin22arcsin{，的取值集合x2例；求，，且，已知xxx]0[7660.0cos)1(.]20[7660.0cos)2(的取值集合求，，且，已知xxx是减函数，在]0[cos)1(xx解：7660.0cosx且0)cos(x又7660.0cosx)2(，，一个满足条件的角有且只有x92x)40(.9792x即.]20[7660.0cos)2(的取值集合求，，且，已知xxx解：.是第二或第三象限角x07660.0cosx)92cos(又)92cos(7660.091192x.9792x或.}91197{，的取值集合x92cos，有且只有一个的角件性质，为了使符合条根据余弦函数的图象的xaax)11(cos，的反余弦，叫做实数的角条件在这个闭区间上，符合axaax)11(cos，即，记作axaarccosarccos.cos]0[xax且，，其中.]0[作为基本的范围，我们选择ayRxxy，cos332222-11yx0.]20[7660.0cos)2(的取值集合求，，且，已知xxx解：.是第二或第三象限角x07660.0cosx)92cos(又)92cos(7660.091192x.9792x或.}91197{，的取值集合x92cos.)}7660.0(arccos2)7660.0({arccos，也可以写为：.}7660.0arccos7660.0arccos{，说明：；，，中aaaarccos011arccos.1；对应有唯一的一个角与实数，中在aaarccos0.2.]11[)cos(arccos.3，，aaa1.1;aarccosarccos1a0零角；2.01;aarccosa锐角；3.0;aarccosarccos0a2直角；4.10;aarccosa钝角；5.1;aarccosarccos(1)a(0,)2(,)23例；求，，且，若xxx]22[3322.0sin)1(.]20[3322.0sin)2(的取值集合求，，且，若xxx解：，，且，]22[03322.0sin)1(xx]02[，x'24193322.0sin的锐角为又满足xx'2419)90097(或也可写为：.)3322.0arcsin(x.是第三或第四象限角x.]20[3322.0sin)2(的取值集合求，，且，若xxx03322.0sinx解：)'2419180sin(又3322.0'2419sin)'2419360sin(3322.0'2419sin或'2419180x'2419360.}3322.0arcsin23322.0arcsin{，的取值集合x.}'36304'24199{，的取值集合x例4)1.0()22(31tan)1(精确到求，，且，已知xxx.]20[31tan)2(的取值集合求，，且，已知xxx是增函数，在)22(tan)1(xx解：31tanx且一个符合条件的角有且只有'2618x)10(或，031tan)2(x.是第一或第三象限角x]20[，x10x10或.}101110{，的取值集合x，有且只有一个的角件性质，为了使符合条根据正切函数的图象的xRaax)(tan，的反正切，叫做实数的角条件在这个开区间上，符合axRaax)(tan，即，记作axaarctanarctan.tan)22(xax且，，其中.)22(作为基本的范围，我们选择ay.)22(31tan)1(xxx求，，且，已知.]20[31tan)2(的取值集合求，，且，已知xxx是增函数，，在)22(tan)1(xx解：31tanx且一个符合条件的角有且只有.31arctanx，031tan)2(x.是第一或第三象限角x]20[，x31arctanx.31arctan或的取值集合x.}31arctan31{arctan，例4说明：；，，中2arctan2arctan.1aRaa；对应有唯一的一个角与实数，中在aa2arctan2.2.)tan(arctan.3Raaa，1.0;aarctana锐角；2.0;aarctanarctan0a零角；3.0;aarctana“负”锐角；0(0,)2(,0)2已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围在题目中是给定的.如果在这个范围内已知三角函数值的角不止一个，其解法可分为以下几个步骤：（1）确定角x所在的象限；（2）若函数值为正，先求出对应的锐角α；若函数值为负，先求出与函数值的绝对值对应的锐角α；（3）根据x所在的象限，得出0~2π间的角x：若x在第一象限，则x=α；若x在第二象限，则x=π－α；若x在第三象限，则x=π+α;若x在第四象限,则x=2π－α.（4）如果要求适合条件的所有的角，则利用终边相同的角的表达式写出.小结：练习：.]20[21sin)1(的取值集合求，，且，若xxx.]20[33cos)2(的取值集合求，，且，若xxx解：021sin)1(x.是第三或第四象限角x621|21|sin的锐角满足又x676x61162x或.}61167{，的取值集合x.]20[33cos)2(的取值集合求，，且，若xxx解：033cosx.是第一或第四象限角x的锐角满足又33cosx33arccos33arccosx33arccos2或}33arccos233arccos{，的取值集合x.]20[22sin的取值集合求，，且，若xxx022sinx.是第三或第四象限角x.}4745{，解：2arcsin24}424{，的取值集合x练习：}22arcsin222arcsin{，的取值集合x2sin2x又满足的锐角下课!