《数列求和》教学设计

《数列求和》教学设计高三文科数学第一轮复习（第1课时）邵武一中杜海光一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。三、教学设计：1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点学习并项分组求和与裂项法求和。教学难点：解题过程中方法的正确选择。3、教学目标：(1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用并项分组求和与裂项法求数列的前n项。(2)过程与方法：①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列通项和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。四、教学过程：教学步骤教学活动设计意图一、复习引入(一)巩固:求下列数列的前n项和：①1＋3＋5＋…＋(2n－1)=②n3332＝③________32naaaa（二）引入1、对一个数列我们应关注它什么?２、对一个非特殊数列，如何求和？（转化为等差、等比数列）3、引导学生回忆数列几种常见的求和方法:①公式法②拆并项求和③裂项相消法④倒序相加法⑤错位相减法４、提出问题：如何对非特殊的数列求和？学生练习，教师提问对于③提示学生要注意分类教师提问，学生回答充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系二、例题选讲：问题１求下列数列的和(1)1－3＋5－7＋9＋……+101=.(2)设Sn＝1－3＋5－7＋9＋……＋(－1)n－1(2n－1),求Sn(3)102110813412211.(4)若数列{an}的通项公式为122nann，则数列{an}的前n项和Sn=.教师讲解：（１）分析(一)Sn＝(1－3)＋(5－7)＋(9-11)＋……(97-99)+101＝分析(二)Sn＝1+(－3＋5)+(－7＋9)+(-11＋13)……+(-99+101)＝分析(三)Sn＝(1+5+……+101)-(3+7+……+99)＝分析(四)Sn＝1－3＋5－7＋9＋……+101Sn＝101-99+97-95＋……+1（２）分析：当n＝2k(k∈N*)时,Sn＝S2k＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(4k－3)－(4k－1)]＝－2k＝－n．当n＝2k－1(k∈N*)时,Sn＝S2k－1＝S2k－a2k多媒体显示题目学生先独立思考，后讨论，最后教师由学生的回答概括出各种解法。教师小结：（1）并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．（2）分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．通过四个小题，让学生能分析和式的特点，灵活选择合适的方法——并项求和、分组求和。通过一题多解,开阔学生的思维.①分析(一)(二)(三)培养学生的拆项求和与并项求和的意识,②比较分析(一)(二)思考应留下哪一项③分析(四)复习倒序相加法④为例1后面的习题作铺垫＝－2k－[－(4k－1)]＝2k－1＝n．综上所述,有Sn＝(－1)n－1n．（３）)10321(nS+（1021814121）＝56－1021（４）2122nn变式1(１)Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12，求Sn.(2)(教材习题改编)(2－3×5－1)＋(4－3×5－2)＋…＋(2n－3×5－n)＝________.(3)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于()A．13B．10C．9D．6解答：(1)Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.(2)解析：(2－3×5－1)＋(4－3×5－2)＋…＋(2n－3×5－n)＝(2＋4＋…＋2n)－3(5－1＋5－2＋…＋5－n)＝n2＋2n2－3×5－11－15n1－15＝n(n＋1)－341－15n＝n2＋n＋34·5－n－34.(3)解析：选D∵an＝2n－12n＝1－12n，∴Sn＝1－12＋1－122＋…＋1－12n＝n－12＋122＋…＋12n＝n－121－12n1－12＝n－1－12n＝n－1＋12n.∴n－1＋12n＝32164＝5164，解得n＝6问题2(1)11×4＋14×7＋17×10＋…＋13n－23n＋1＝。学生独立练习。学生板书，教师点评学生思考，讨论后，教师重点讲解对通项的处理，以及消去的项和留巩固所学方法(2))2(1531421311nn=.(3)1+n32113211211=(4)已知数列{an}的通项公式是11nnan，若10nS，则n=.解析：(1)∵13n－23n＋1＝1313n－2－13n＋1，∴11×4＋14×7＋17×10＋…＋13n－23n＋1＝131－14＋14－17＋17－110＋…＋13n－2－13n＋1＝131－13n＋1＝n3n＋1.(2))2)(1(23243nnn(3)12nn(4)120变式2(1)数列{an}的通项公式为an＝13n，设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和．(2)已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列1fn(n∈N*)的前n项和为Sn，则S2012的值为()A.20092010B.20102011C.20112012D.20122013解析：(1)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12.故1bn＝－2nn＋1＝－21n－1n＋1.1b1＋1b2＋…＋1bn＝－21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1下的项的处理教师小结：１、注意点：使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．2、常见的拆项公式(1)1nn＋k＝1k1n－1n＋k；(2)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；(3)1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2(4)1n＋n＋k＝1k(n＋k－n).学生练习、讨论，教师提问、引导前两题主要是复习裂项法的基本操作，后两题的主要是想通过对通项的处理，达到符合裂项法的要求综合应用所学知识，求出通项，能由通项特点选择方法＝－2nn＋1.所以数列1bn的前n项和为－2nn＋1.(2)解析：选D由于f′(x)＝2x＋b，据题意则有f′(1)＝2＋b＝3，故b＝1，即f(x)＝x2＋x，从而1fn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，其前n项和Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，故S2012＝20122013.三、学生反馈练习①2222222212345620072008②数列:11111,3,5,7,24816的前n项和为;③数列{an}中,前n项之和Sn=1－5＋9－13＋17－21＋…+(－1)n－1(4n－3),则S15＋S22－S31=.④已知数列{an}：1121231239,,,23344410101010，，，若nnn11b,aa那么数列{bn}的前n项和Sn为()(A)nn1(B)4nn1(C)3nn1(D)5nn1【解析】选B.nnnn1n123nna,n121411b4(),aann1nn111111S4[(1)()()223nn114n4(1).n1n1］学生独立练习，析书，教师点评反馈练习的训练充分发挥学生的主体地位,营造生动活泼的课堂教学气氛通过学生的评析,激发学生学习热情,发散学生思维,培养学生的合作,探究意识。让学生从具体实例中发现结论。符合学生认识规律,并在结论的发现过程中培养学生的思维能力。四、小结１、拆并项求和：若nnnndcba,其中){},{},{nnndcb均为可求和数列,则可分别求和后再合并；2、裂项法求和的几个注意点：项数与系数3、求和思想——转化与化归思想数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常教师引导学生小结启发、引导学生归纳总结,一方面了解学生对本堂课的接受情况,另一方面培养学生的归纳总结能力。使知识系统化,条理化。数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的．五、课后作业必做题：《世纪金榜》课时提能演练（三十二）第1~11题选做题：1、如果数列{an}的前n项之和为Sn=3＋2n,那么2232221naaaa=.2、设设数列{an}是公差d＝4的等差数列,前20项之和为S20=660．(Ⅰ)求它的首项a1；(Ⅱ)设T＝)()(215252321216262422aaaaaaaa，求T的值．通过作业题的分层变式训练,达到引起学生积极思维的目的,提高分析问题、解决问题能力来满足不同层次学生需要,符合因材施教原则。从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的效果。六、教学评价自主性：注重发展学生的个性,分层式练习和选择性作业,充分体现学生的主体地位.实践性：通过学生评析中的变式训练,给学生提供了一个很好的做数学的学习环境和学习机会.可行性:所教的班级是高三年级的实验班,学生具有较好的数学功底,具备一定的独立思考、合作探究能力.有效性:通过学生