理论力学 加速度合成定理

由于牵连运动为平动，故对t求导：6.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。由速度合成定理上式即为牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。∴一般式可写为：(其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以）[例1]已知：凸轮半径求：j=60o时,顶杆AB的加速度。解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。由速度合成定理,reavvv0o0er3260sinsinvvvvjRvarnr/2绝对速度va=?,方向AB；绝对加速度aa=?,方向AB，待求。相对速度vr=?,方向CA;相对加速度art=?方向CA方向沿CA指向C牵连速度ve=v0,方向→;牵连加速度ae=a0,方向→jjj因牵连运动为平动，故有作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与平衡方程的投影关系不同n60wa30DEBCAOw0[例2]图示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度w0绕O轴转动。套筒A可沿BC杆滑动。已知BC=DE，且BD=CE=l。求图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：以套筒A为动点，动系与BC杆固连绝对速度：va=w0r牵连速度：ve=vB=wlvavevr相对速度：大小未知，方向沿水平方向由速度合成定理va=vr+ve作出速度平行四边形如图示。ve=va=vr=w0rlrlvlv0eBwww060wa30DEBCAOaraaraaa20naaa0wt,绝对加速度：相对加速度：大小未知，方向//BC牵连加速度：neaytea30o30ol2202nerlawwlaate由加速度合成定理rneereaaaaaaat将上式向y轴投影sin30cos30sin30neeaaaat解出lrraa3)(3cos30)sin30(a0neaelwt20e3)(3lrrlalwat设一圆盘以匀角速度w绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？6.4牵连运动是转动时点的加速度合成定理科氏加速度上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。,常数有rv相对运动为匀速圆周运动，由速度合成定理可得出常数rreavRvvvw选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动e,Rvw即绝对运动也为匀速圆周运动，所以r2r22r2aa2)(vRvRRvRRva方向指向圆心Ｏ点earaRa2ewRva2rr可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。earaaar2r22r2a2)(vRvRRvRRvaa分析上式：,,/2e2rrwRaRva还多出一项2wvr。可以证明，当动系作定轴转动时，有下式成立：式中称为科氏加速度牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度，相对加速度与科氏加速度的矢量和。一般式一般情况下科氏加速度的计算可以用矢积表示)(re不垂直时与vwcawsin2recva:大小方向：按右手法则确定。[例3]已知：凸轮机构以匀w绕O轴转动，图示瞬时OA=r，A点曲率半径,已知。求：该瞬时顶杆AB的速度和加速度。解:动点:动系:顶杆上A点；凸轮;绝对运动:直线;绝对速度:va=?待求,方向//AB;相对运动:曲线;相对速度:vr=?方向n;牵连运动:定轴转动;牵连速度:ve=wr，方向OA，。vevrva,cos/2222rnrθrvaw/ABa//,?a方向?τra,,02neeτeraaaw,/wwcos222rcrvawtantaneaABrvvvwcososer//rcvv根据速度合成定理:绝对加速度:相对加速度:牵连加速度:科氏加速度acaearnartaa由牵连运动为转动时的加速度合成定理向n轴投影：cnreacoscosaaaawwwcos)sec2seccos(22222aAB//rrraa)sec2sec1(232w/rracaearnartaaDABC)(022cva//w[例4]矩形板ABCD以匀角速度w绕固定轴z转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为和，计算点M1、M2的科氏加速度大小,并图示方向。1v2v点M2的科氏加速度解：awsin21c1va点M1的科氏加速度垂直板面向里。vavrve解：r2c2vawr2cr22vavwwreavvv根据做出速度平行四边形112e2cos)sinsin(cossin)sin(wjjjjwwrrAOvrva21r2ccos)22sin(2wjjw方向：与相同。ev[例5]曲柄摆杆机构已知：O1A＝r,,j,w1;取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。)cos(sin)sin(cos1ar1aejwajwarvvrvv,aac已知:OA＝l,=45o时，w,a;求：小车的速度与加速度．[例6]曲柄滑杆机构j)(aOAlv方向w)(),(2naτaOAOOAlala指向沿方向wa铅直方向??rrav待求量。水平方向,??eeav解：动点：OA杆上A点;动系：固结在滑杆上;绝对运动：圆周运动，相对运动：直线运动，牵连运动：平动；vevavrnaataaeara小车的速度：evv根据速度合成定理做出速度平行四边形,如图示reavvv)(2245coscosaewwjllvv投影至x轴：enaaaaajjtsincos45452sincoswllae，方向如图示l)(222w小车的加速度：eaa根据加速度合成定理renaτaaaaavevavrjnaataaearajx[例7]圆盘半径R=50mm以匀角速度w1绕水平轴CD转动，同时框架和CD轴一起以匀角速度w2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动。如w1=5rad/s，w2=3rad/s,求圆盘上1点和2点的绝对加速度。解：首先计算1点的加速度。动点：圆盘上的1点动系：与框架固结牵连运动：以匀角速度w2作定轴转动牵连加速度：222neesmm450Raaw0τeaae相对运动：以O为圆心，在铅直面内作匀速圆周运动相对加速度：0aτr221nrrsmm1250Raaw科氏加速度：0sin1802r2cvawarvr由加速度合成定理2reasmm1700aaaaa计算点2的加速度动点：圆盘上的2点动系：与框架固结牵连运动：以匀角速度w2作定轴转动牵连加速度：0ea相对运动：以O为圆心，在铅直面内作匀速圆周运动相对加速度：0aτr221nrrsmm1250Raaw科氏加速度：由加速度合成定理22c2rasmm1953aaa212r2csmm15002sin902Rvaacarvraa2150aaarctanct