概率2―1 随机变量与分布函数

随机变量与分布函数常见随机变量的分布一维随机变量函数的分布二维随机变量第二章随机变量及其分布2.1.1随机变量的概念1.若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用数量值来表示事件.例1.掷一枚均匀的骰子，样本空间={1,2,…,6}.对于每次试验结果，都有一个数值与之对应。我们可引进一个变量X表示“出现的点数”,X的可能取值为1,2,3,4,5,6.试验的结果——X=X()§2.1随机变量与分布函数(X=i)代表相应的基本事件(样本点).任一事件都可用X表示.如事件A“朝上的点数超过3”，可用(X3)表示.2.若随机试验的结果不带有明显的数量标识，也可以用数量表示事件.例2.掷一枚均匀的硬币,样本空间={正,反}.引进变量X,并规定正面出现时,X=1；反面出现时,X=0.试验的结果——X=X().X表示“正面出现的次数”.试验的每一可能结果,都对应着一个确定的实数X()，由于试验的结果是随机的，X的取值也是随机的，这样的变量X称为随机变量。变量X的取值是变化的——取决于试验的基本结果(样本点),事先不能确定,具有随机性；且取任一值都有确定的概率.我们把具有上述性质的X称为随机变量。随机变量的定义定义2.1设E是随机试验,是样本空间,对于的任一样本点,按照某种对应法则,都有唯一确定的实数X()与之对应,即X=X()是定义在样本空间上的一个实值函数,则称X=X()是一个随机变量.（1）随机变量是样本点和实数之间的一个对应关系.随机变量X=X()是函数,其自变量是样本点,定义域是样本空间,值域是实数轴或其子集。（2）随机变量的取值有一定的概率.由此可知：对随机变量的研究，不仅要搞清楚随机变量取值的范围，还要搞清楚相应的取值的概率.X()说明（4）引入随机变量后，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量表达出来。),2,1,0()(nkqpCkXPknkkn例2:在n重贝努利试验概型中，记事件A出现的次数为X,则X为一随机变量。则事件“在n重贝努利试验中，事件A出现k次”就可以简单地记作(X=k)，从而有：X所有可能取到的数值就是试验中事件A可能出现的次数：X=0,1,…,n.例1:单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示，则“收到不少于一次呼叫”“X≥1”,“没收到呼叫”“X=0”.（3〕随机变量通常用希腊字母,或大写字母X,Y,Z等表示,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量的分类按照随机变量的取值情况可把其分为两类：离散型随机变量：随机变量X的全部取值只有有限个或无限可列个.非离散型随机变量：随机变量X的全部取值不能一一列出.主要研究连续型随机变量（随机变量X的取值连续地充满某个区间或整个数轴）.离散型连续型定义：若随机变量X只取有限个或可列个可能值，则称X为离散型随机变量.定义若X:①所有可能的取值为x1,x2,…②X取每个可能值的概率为p1,p2,….即：P(X=xk)=pk,k=1,2,…(1)则称式(1)为离散型随机变量X的概率函数或概率分布或分布律.为了直观，概率函数常以下列表格的形式表示：Xx1x2x3…xk…2.1.2离散型随机变量及其概率函数Pp1p2p3…pk…概率分布表问题：(1)X的所有可能的取值是什么？(2)X取每一个值的概率是多少？例1：盒中有2个白球、3个黑球,从中任取3个球,设X为取到的白球数,求随机变量X的概率函数。1013533CC106351223CCC103352213CCCX的概率函数亦可用下表来描述：X012P1/106/103/10P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=解随机变量X的可能取值是0,1,2.例2：一批零件中有7个正品，3个次品.安装机器时从这批零件中任取一个，若取到正品，则停止抽取，若取到次品，则放到一边继续抽取，直到取出正品为止.求在取到正品前所取出的次品数的概率函数.解用X表示“取到正品前所取出的次品数”,则X是随机变量，X可能取值为0,1,2,3.,10797103,8792103778192103X的概率函数亦可用下表来描述：X0123P7/107/307/1201/120P51页7题P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=概率函数的性质(1)、pk0，k=1,2,…；注意：任一具有上述两个性质的数列{pk}，都有资格作为某一个随机变量X的分布列。用于验证概率函数的正确与否。kkp1(2)、例3.设随机变量X的概率函数为P(X=k)=k/15,k=1,2,3,4,5.求(1)P(X=1或X=2)；(2)P(1/2X5/2)；(3)P(1X2),P(1X2).解由题知X的概率函数为X12345P1/152/153/154/155/15(1)P(X=1或X=2)=(2)P(1/2X5/2)=(3)P(1X2)=P(1X2)=P(X=1)+P(X=2)=1/15+2/15=1/5P(X=2)=2/15P(X=1)+P(X=2)=1/15+2/15=1/5P(X=1)+P(X=2)=1/15+2/15=1/5P51页5题设I为任意区间，则IxkIxkkkpxXPIXP)()(概率函数全面地描述了离散型随机变量的统计规律若离散型随机变量X的概率分布为：P(X=xk)=pk,k=1,2,…由概率函数可以求随机变量X取任何值及落在任一区间的概率定义2.2设随机变量X的所有可能取值是某一区间上的所有实数,若存在非负可积函数f(x),使得对任意区间(a,b］,badxxfbXaP)()(则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率分布密度函数,简称为概率密度或密度函数,记作X~f(x).2.1.3连续型随机变量及其概率分布密度函数xf(x)oab确定密度函数中的待定参数连续型随机变量的密度函数与离散型随机变量的概率函数相对应.以后,求随机变量的概率分布时,离散型就指概率函数,连续型就指密度函数.密度函数的性质1)()2(dxxf注：具有上述性质的函数f(x)必定是某个连续型随机变量的密度函数.xf(x)o.0)()1(xf设X是连续型随机变量,则对任意的实数x0,有P(X=x0)=0.)(0xXP0)(00xXxxP00)(xxxdxxf,0x令0)(0xXP即得连续型随机变量与离散型随机变量截然不同的一个重要特点。它说明，用分布列描述连续型随机变量毫无意义。概率为零的事件未必是不可能事件；说明0)(APA1)(APA概率为１的事件未必是必然事件。adxxfaXPaXP)()()()()()(adxxfaXPaXP)()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP一般地，设I为任意区间，则IdxxfIXP)()(I)()(kkxkIxkpxXPIXPbadxxf)(有关事件的概率例1已知连续随机变量X的密度函数为：求(1)常数k;(2)P(X≤2),(1.5X2.5).其它0201)(xkxxf解(1)20)1(dxkx22kdxxf)(1因为21k得其它020121)(xxxf所以P(X≤2)dxxf2)(P(1.5X2.5)dxxf5.25.1)(dxxdx200)121(01dxx25.1)121(0625.02.1.4随机变量的分布函数引例：掷一枚均匀的骰子,随机变量X表示朝上的点数.则：P(X1)=1/6,P(X2)=2/6,P(X5.7)=5/6P(X0)=0,P(X6)=1,P(X13.3)=1P(X-4.12)=0此例中研究的都是形如事件(Xx)的概率，发现事件(Xx)的概率随着x的变化而变化，即P(Xx)是x的函数,记为F(x)=P(Xx)--分布函数定义2.3设X为一个随机变量，对任意实数x，函数F(x)=P(X≤x)称为随机变量X的分布函数。分布函数的定义(2)F(x)的定义域是(-∞,+∞)，值域是[0,1]说明(1)F(x)表示随机事件{X≤x}发生的概率，它在点x处的函数值正是随机变量X的取值落入区间(-∞,x]的概率。xxxixxiiipxXPxXPxF)()()(离散型随机变量X的概率分布为P(X=xk)=pk,k=1,2,3,…xixi+1X≤xx1x2x离散型随机变量的分布函数xxixxiiipxXPxXPxF)()()(F(x)=P(X≤x)=0；F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=1/3；F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=1/2;F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.X≤x012解例1已知随机变量X的概率函数,求X的分布函数.1/31/61/2012PXX的取值将F(x)的定义域分成四部分.当x0时,当0≤x1时,当2≤x时,当1≤x2时,所以X的分布函数为：212121103100)(xxxxxFxF(x)011/3121/2右连续1/31/61/2012PX分布函数212121103100)(xxxxxFxF(x)011/3121/2概率函数1/31/61/2结论:离散型随机变量的分布函数F(x)的图形是阶梯形曲线，在X的每一取值xk处都有一个跳跃，其跃度为P{X=xk}2、会求离散型随机变量的概率分布和分布函数.3、已知离散型随机变量的概率分布或分布函数，会求随机变量的取值落在一个范围的概率.要求：1、掌握离散型随机变量的概率函数的定义及性质.设X是连续型随机变量,f(x)是密度函数,则分布函数F(x)为：xdttfxXPxF)()()(F(x)的几何意义xf(x)y=f(x)F(x)Ox1.连续型随机变量X的分布函数F(x)是连续函数.2.若f(x)在点x处连续,则F(x)在点x处可导且说明F(x)=f(x)连续型随机变量的分布函数例1已知连续随机变量X的密度函数为：解①x0时,②0≤x2时,xdttfxXPxF)()()(xdttdt00)121(0③x≥2时,F(x)=F(x)=F(x)=10)121(02200xdtdttdt所以21204100)(2xxxxxxFxx241其它020121)(xxxf求分布函数F(x).02x-tx00xdtxF(x)021连续函数注：由概率密度f(x)求分布函数F(x),利用xdxxfxF)()(需注意当f(x)是分段表示时，则要分段求出F(x)的表示式,然后合并写出F(x).例4已知连续随机变量X的分布函数为：求(1)常数A;(2)X的密度函数f(x);(3)P(0.3X0.7)0x0F(x)=P(X≤x)=Ax20x111x解：(1)由于连续型随机变量的分布函数F(x)是连续的,所以)(limxFx121AxxlimA)(1F即A=1(2)由密度函数与分布函数之间的关系得其它0102)()(xxxFxf(3)4.02)()7.03.0(7.03.07.03.0xdxdxxfXP要求：1、已知密度函数，会求分布函数；3、利用分布函数或密度函数，求事件的概率；2、已知分布函数，会求密度函数；