区间图、弦图和完美图

区间图、弦图和完美图介绍内容介绍•在本讲中将主要介绍–区间图(intervalgraph)–区间图上的色数(chromaticnumber)和最大团问题(maximumclique)–完美消除序列(perfecteliminationorder)–弦图(chordalgraph)及其判定–区间图的判定–完美图(perfectgraph)区间图–POJ1083•[POJ1083]MovingTables一个公司有400个房间，布局如上图所示。编号为奇数的房间在背面，编号为偶数的房间在南面，中间被一条走廊隔开。现在公司要将某些桌子从一个房间移动到另一个房间。走廊很窄，如果两张桌子需要经过同一段走廊的话，那么它们不能同时移动。每移动一张桌子需要10分钟。问最少需要多久才能将所有桌子移动完毕。区间图–POJ1083Moving：2-45-1412-106-124615141210求一般图的色数是NP难问题！区间图–定义•一个区间是有两个端点的线段，端点可以是开的或闭的。给定一些区间，可以定义一个相交图。•定义1：给定一些区间，定义一个相交图的每个顶点v代表一个区间Iv,顶点(v,w)间有边，当且仅当Iv交Iw非空。•定义2：一个图G是区间图，如果它是若干区间的相交图。区间图–例•区间图的例子•不是区间图的例子区间图–顶点排序•定理1：开区间、闭区间、半开闭区间对应的区间图是等价的。•证明思路：由于区间在连续的实数轴上，我们可以对区间做小量伸缩而不影响相交情况区间图–顶点排序•推论1：任何区间图G都存在一个没有重点的区间表示•于是我们可以将G的顶点按其代表区间的左端点排序，称之为区间图G顶点的自然排序区间图–顶点排序24165141210v2v1v3v4区间图–顶点排序•定义2：Pred(Vi)={Vj|(Vi,Vj)∈E∧ji}为顶点Vi的前驱•{Vi}∪Pred(Vi)是一个团区间图–最小染色算法令v1,v2..vn为顶点的一个自然排序，一下算法得到区间图G的一个最小染色完美消除序列•定义：一个顶点序列{V1..Vn}如果对任意i满足Pred（Vi）是一个团，那么这种序列称为完美消除序列。•最大团•最大独立集•最小覆盖•最小团覆盖•……弦图•定义：如果一个图的任何诱导子图都不是K阶环（K=4），那么该图称为弦图弦图与完美消除序列•定理：如果一个图G具有完美消除序列，则G是弦图。弦图与完美消除序列•定理：图G是弦图，当且仅当G具有完美消除序列弦图与完美消除序列•定义：如果与顶点V相邻的所有顶点构成一个团，则V称为单纯点•引理1：任何弦图G具有至少一个单纯点。如果G不是完全图，那么它至少具有两个不相邻的单纯点。•引理2：弦图的任何诱导子图都是弦图。弦图与完美消除序列•引理1：任何弦图G具有至少一个单纯点。如果G不是完全图，那么它至少具有两个不相邻的单纯点。弦图与完美消除序列•最大势算法(MCS)•字典序广度优先搜索(LexicographicalBFS)弦图与完美消除序列•LexBFS{A,D,C,B,E,F,G,H,J,K,I,L}弦图的判定•LexBFS–O(n+m)1.令Vi是第一个桶中的第一个元素(显然Vi是目前标号最大的一个顶点)。2.将Vi从桶S(L(Vi))中删去。3.如果S(L(Vi))已空，将它从Q中删去。4.对于每个Vi的相邻点W：5.如果W仍在Q中(W尚未选择，必须更新它的标号和在Q中的位置)6.找到S(L(W))以及它在Q中的位置。7.寻找Q中S(L(W))上一个桶。8.如果这样的桶不存在,或它不是S(L(W)〇i)9.在Q中的当前位置建立一个桶S(L(W)〇i)10.将W从S(L(W))中取出并加入S(L(W)〇i)中11.如果S(L(W))已空，将它删除。12.将L(W)更新为L(W)〇i。弦图的判定•检验–O(n+m)弦图的判定•ZOJ–FishingNet•判断一个图是不是弦图再谈区间图定理：以下命题是等价的：•(1)G是区间图•(2)G是弦图，且G是伴相似图(co-comparabilitygraph)。•(3)G的极大团可以连续地编号。即我们可以将它们排为C1..Ck，满足对于任何v∈V，序列{j|j∈{1..k}，v∈Cj}是连续整数集。再谈区间图•定义：一个能够无环且具有传递性地定向的无向图G称为相似图。•定理：(1)-(2)•定理：(3)-(1)–I(V)=[Min{i|V∈Ci}，Max{i|V∈Ci}]再谈区间图•定理(2)-(3)•令G’是G补图经过无环传递定向后的有向图。构造有向图H.V(H)=C,C1,C2∈E(H)存在x∈C1,y∈C2且x,y∈G’再谈区间图•定理：H是传递的再谈区间图•定理：H是无环的再谈区间图•定理：H的一个拓扑排序C1,C2,…Ck是满足(3)的一个序列区间图的判定区间图的判定•定理：设G是弦图，M是G的一个极大团，则存在i，M={Vi}∪Pred(Vi)•定理：{Vi}∪Pred{Vi}是极大团，当且仅当对Vi的任何后继Vj，至少有一个Vi的前驱不是Vj的前驱。区间图的判定•连续1性质(consecutiveonesproperty,COPorC1P)–POJ2790：判断一个矩阵是否具有C1P–Anm，aij=1Vi∈Cj•010100100010101101000001100101区间图的判定•N=4•S1={2,3}•{1,2,3,4,1,3,2,4,1,4,2,3,1,4,3,2,2,3,1,4,2,3,4,1,3,2,1,43,2,4,1,4,1,2,3,4,1,3,2,4,2,3,1,4,3,2,1}•S2={3,4}•{1,2,3,4,1,4,3,2,2,3,4,1,4,3,2,1}区间图的判定•PQ-tree://区间图的判定pertinent-root区间图的判定•L1–当前节点是叶子–标记为full区间图的判定•P1–当前节点是P-node,子节点都是full–标记为full区间图的判定•P2–P-node,pertinent-root,full+empty–增加新的P-node作为full子节点的父节点及当前节点的子节点(如果只有1个full子节点则不增加新的P-node)区间图的判定•P3–P-node,notpertinent-root,full+empty–当前节点标记为partialQ-node,增加新的P-node作为full子节点的父节点及当前节点的子节点,增加新的P-node作为empty子节点的父节点及当前节点的子节点,区间图的判定•P4–P-node,pertinent-root,1partial+full+empty区间图的判定•P5–P-node,notpertinent-root,1partial+full+empty区间图的判定•P6–P-node,pertinent-root,2partial+full+empty区间图的判定•Q1–Q-node,allfull区间图的判定•Q2–Q-node,0/1partial+连续full+empty区间图的判定•Q3–Q-node,2partial+连续full+empty完美图•定义：一个图G是完美图，如果W(G)＝X(G)，且对于G的任意诱导子图H，都有W(H)＝X(H)。强完美图定理•强完美图定理(SPGT)–一个图是完美图，当且仅当它的任何大于3的诱导子图都不是奇阶洞或奇阶反洞