专题复习：中考函数与几何综合压轴题

ss专题复习：中考函数与几何综合压轴题——唯一性、存在性的开放性问题（方法与技能学习）●教学目标（一）知识与技能目标1．掌握根据图中几何信息求解二次函数的解析式；2．掌握三角形、四边形的综合几何证明；3．掌握利用全等变换进行拼图．（二）过程与方法目标1．经历不同数学问题的思考方法渗透，逐步养成学生按“四六步骤”进行思考的习惯，提高学生思考问题的能力；2．经历全等变换拼图的过程，渗透存在性问题中的拼图分类思想．（三）情感、态度与价值观目标1．进一步培养学生严谨的科学态度：分类标准要统一，且不重复、不遗漏；推理中要言之有理落笔有据；2．通过透视压轴题，养成学生在解题中进行反思的习惯，从类型上形成解题的方法和经验。●教学重点与难点重点：（1）逐步养成学生按“四六步骤”进行思考的习惯；（2）形成解答新编函数与几何综合的唯一性、存在性开放性问题的方法。难点：（1）调用“联想转化、选择试解”所具备的知识和经验；（2）分类拼图的不遗漏．●学生对象：中考优生●课前准备：学生独立完成学案中的内容●教学过程一、引言：百尺午头，更进一步．在中考即将来临之时，我要与大家一起再次走进中考函数与几何综合压轴专题，希望通过本专题复习，同学们能在思考问题的方法与解决问题的技能方面都有所增长，有信心吗？二、课前自查第（1）问反馈，提炼思考问题的步骤．1．请看自查问题1（课件展示）：自查问题1：（见学案）如图，在梯形ABCD中，ABDC∥，90BCD，且1AB，2BC，tan2ADC．（1）以DC所在直线为x轴，过点A的直线为y轴建立如图所示的坐标系．在OA上取一点Q，使32AQ，求过D、Q、C三点的抛物线的解析式；（2）若E是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDCFBC，DEBF，则图中ECF△是等腰直角三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．2．（1）小问提前完成的请举手，很好，非常自觉．答案是什么？请你说说？与他答案相同的请举手，有不同意见吗？（请看正确答案：同学们答案正确，得分，把掌声送给自已）；3．有答案说明有思考，有好的思考，才会有好的解法．怎样才会有好的思考呢？4．老师是这样做的：（边课件展示，边简述）yx21Q0EDABCFss师：课件展示（1）小问题的思维流程图如下：师：简述思考过程如下（1）上图问题条件（如图所示）（2）根据问题，联想所求解析式的特征是不含待定系数，从而将问题转化为求解析式中的待定系数；联想求解析式中待定系数的方法，将问题转化为).()();()(;)()(;*第四步答第三步组解方程第二步坐标求异于顶点的另一点的组列方程第一步求顶点坐标顶点式设未知系数的解析式为交点式顶点式一般式设解析式选择（3）根据设解析式，联想解析式的表达式有一般式、顶点式、补充的交点式三种，产生多种思路，因此选择试解。根据所求函数经过的三点中有顶点，而顶点坐标根据已知可直接求得，因此老师选择了顶点式，从而将问题转化为设解析式为顶点式khxay2)(求顶点坐标（h，k）。顶点坐标求出后，再根据列方程（组），联想所设的顶点式中待定系数的个数（除顶点外，只有1个待定系数a）和函数问题中常用的列方程的等量关系（函数所经过的点的坐标满足该函数解析式），从而将问题转化为求异于顶点的一点的坐标。（为什么是异于顶点的一点呢？因为顶点代入后，不能得到关于a的方程，也就是用顶点坐标设了解析式，就不能再用顶点坐标求的该解析式中的待定系数，一个条件只能作用于一个等式一次，多次是循环的，无效）列出关于a的方程后，解所列方程，得待定系数a的值。将所求出的待定系数a的值，代入所设解析式（顶点式）得解答。（4）梳理步骤为：①求顶点坐标，设解析式为顶点式；②求异于顶点的一点的坐标，代坐标到所设顶点式，列方程；③解方程，得待定系数的值；ss④代所求出的待定系数到所设顶点式，得结论。5．同学们，老师是怎样思考的呢？请帮助老师提炼一下思考步骤？（课件展示，生说师展示）思考步骤：（1）条件问题上图；（2）问题联想转化；（3）选择思路试解（思路试解优化）；（4）梳理解答步骤．（注意：联想转化是关键，一定要会联想转化）．6．从问题出发，不断联想转化，是思考问题的一种分析法。为了便于称呼和记忆，我们约定以上步骤为“四六步骤”好不好。按四六步骤思考问题，不仅条理清晰，而且体现了思维的发散与优化，因此算一种好的思考方法，同意吗？需要说明的是第二步与第三步经常是交叉进行。三、（2）小问题反馈，引导学生按“四六步骤”重新思考（2）小问，进一步理解“四六步骤”。1．下面，请看（2）小问，提前完成的请举手，你们是按上面的步骤思考的吗？刀不磨不亮，脑不用不活，下面我们一起按四六步骤，重新思考（2）小问好不好．（师边提问，生边作答，边课件展示思考过程）师：课件展示（2）小问题的思维流程图如下：师：按“四六步骤”思考（2）小问题的提问如下：（1）上图问题条件：你条件问题上图了吗？（2）问题联想转化、（3）选择思路试解同进进行：根据问题本身的含义，将问题转化为根据证两边等，联想到什么？（联想到三角形两边等有三种情况存在，由于此题是证明是等边三角形，.)90(9090)2(;,,,,)1(计算边长证边等全等证证的关系找与已知计算两边夹角为数建立方程利用勾股定理或三角函作辅助线构造的长求全等线段相等长度值相等全等对应边等中两个等角对等边中一个两边等证选择选择选择BCFDCEBCDECFRtCDCBCDSASHLSSSASAAASSASCFCEEFCFEFCECFCEss因此只要证到一种情形即可。根据图形，选择证明CE=CF）。又联想证明CE=CF的方法：（有三种思路），产生多种思路，因此选择试证。根据已知，你选择了什么？（选择△全等），从而将问题转化为什么？（证△全等）根据证△≌△，联想到什么？产生多种思路，因此选择试证。根据已知，你选择什么？（选择证SAS）从而将问题转化为什么？（证CD=CB）根据证CD=CB，联想到什么？产生多种情况，因此选择试证。根据已知，你选择什么？（长度值相同，线段相等）从而将问题转化为什么？（计算CD的长，联想求线段长的方法，将问题转化为构造Rt△，利用三角函数求解或勾股定理求解，根据已知，选择三角函数）根据上面所证的两边为CE=CF，从而将证两边夹角为90，转化为证90ECF，根据此问，联想已知中有90BCD，将问题转化为找与已知90BCD的关系，从而将问题转化为证BCFDCE。（根据计算得边等和已知，得全等，从而得角等。）（4）梳理解答步骤：①求线段长，证边等：②由边等，证全等；③由全等，推边等；④由证角等，等量加等量证角为90；（5）综上所述，得三解形为等腰Rt2．下面，请同桌交换题单，按以上梳理的解答步骤，互批（2）小问的解答。有错吗？错了的同学下来一定要弄清楚自已的错点，及时修正。3．这里需要提醒的是：（2）小问作答时，一定要先回答“是”或者“不是”．若回答是，则证明；若回答不是，则举反例或反证．初中阶段一般都是回答“是”．像（2）小问这样的问题，叫唯一性的开放性问题．4．另外，请同学们注意：（2）小问的条件与问题，由于都与坐标系、抛物线无关．因此思考时，可以先隐去坐标系、抛物线或将问题从坐标系、抛物线中提取出来，这样会感觉简单些．当然不是所有函数与几何综合的问题都与坐标系、抛物线无关．建议同学们在思考函数与几何综合问题时，采用先独立、再综合的思考策略，清楚了吗．四、变式精析，让学生用“四六步骤”思考问题2的（3）小问题，并用议一议的问题来反馈思考过程，抓住关键，突出重点，解决难点。1．按四六步骤思考问题，会让你在解答问题一时没有思路时，慢慢的产生思路，让你有一种柳暗花明又一春的感受．愿意感受一下吗？2．请看问题2：问题2：在问题1的基础上增加如下问题作为（3）小问，并将图1变为图2（3）作△ADO的中位线MN，并将△AMN进行平移、旋转、翻折（无任何限制），使它与四边形MNOD拼成特殊四边形（面积不变），则（1）中抛物线上是否存在点P，使它成为所拼特殊四边形异于M、N、O、D四点的顶点．若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．问题2是在问题（1）的基础上增加了（3）小问，图随之有点改变．请大家按“四六步骤”，先独立思考，再四人一组议一议：联想转化中，首先将原问题转化成了哪几个新问题？其关键性问题是什么？解yx21MQ0EDANBCFss决它的方法是什么？为什么？3．请议完了的小组举手？请你们小组的代表上来讲讲你们议的结果，其它小组有不同意见吗？请你补充．4．请看老师的思考过程？（边课件展示，边口述）师：课件展示（3）小问题的思维流程图如下：师：口述如下：①上图问题条件（如图所示）②③问题联想转化、选择思路试解同时进行：根据原问题所表达的含义，将原问题转化为④梳理解答步骤：第一步：拼特殊四边形，并画出所拼特殊四边形；第二步：标出所有P点，并求所有P点坐标；第三步：分别代所有P点的坐标到（1）中解析式，判断解析式是否成立；第四步：下结论，并写了符合题意的P点的坐标。5．通过同学们的议和老师的展示，同学们能很快拼并画出特殊四边形了吗？请你上来画画．对不对，很好．6．下面，再请同学们看看老师的拼图过程及拼图结果．（课件展示）答并写代并断标并求分类有序重合讨论把相等相等有序重合找相等线段拼并画ODANDOANONANNOANMDAMDMAMss7．谁愿意上来标并求出P点坐标．8．通过以上思考，能完成（3）小问的解答吗？请同学们在题单上完整的写出解答过程．9．请对照老师的解答过程，判断自已的解答是否正确．若有错，错在什么地方．（课件出示老师解答过程）五、整体透视问题2，养成学生在解题中进行反思的习惯，从类型上掌握的解题方法和经验。1．同学们，（3）小问这种问题，我们把它叫做存在性问题的开放题，解答时一般都需要分类讨论．请同学们思考，今天（3）小问这样的存在性问题，与以前我们接触的存在性问题有什么异同？相同点：是都要分类讨论；不同点：一是数学载体不同．以前多数是以动点问题为载体，而今天是以拼图问题为载体；二是分类标准不同．今天这种分类拼图，是根据要减少边来确定的分类标准，就是按相等线段有序重合来进行分类．注意：只有按统一的标准去分类拼图，才不会重复、遗漏．清楚了吗．2．问题2是我今年新编的一类压轴题，希望大家一定要高度重视．（1）（2）（3）小问中的条件只限于每一个小问．解题时，可以抽取出来思考．另外，（2）小问与以前也有所不同，它与函数、坐标无任何关系，是独立的几何唯一性证明问题．六、透视了问题2这种新编中考压轴题，下面我们对本节课作一小结．（师边启发，生边回答，师边整理）师：启发如下：1．万丈高楼平地起，基础是基石，只有基石牢固了，才能筑建起高楼．本课基础知识与技能有哪些呢？请说说．还有吗？非常好．2．方法是打开思维大门的钥匙，只有掌握了方法，才能触类旁通，点石成金．本课思考与解决问题的方法有哪些呢？请说说．还有吗？非常好．（3）知己知彼，百战不殆．明确了中考压轴题特点，必须还要清楚自己解压轴题的错点，请你说说你的错点是什么？非常好．师：整理如下：ss七、今天的作业是变式与精练题中的问题3．问题3（压轴题）：如图，ABC△中，2BC，45ABC°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．以点H为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的坐标系．（1）一条抛物线经过D、B、C三点，求这条抛物线的解析式；（2）线段BG与CE之间存在数量关系BG2CE吗？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（3）将△DHC进行平移、旋转、翻折（次数不