10曲线积分与曲面积分-1

积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分一、问题的提出引例1:(平面)曲线形构件的质量匀质之质量.sMoxyAB1M2M1iMiM1nML),(ii分割,,,,121insMMM,),(iiis取.),(iiiisM求和.),(1niiiisM近似值取极限.),(lim10niiiisM精确值取点AB假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“分割、取点、求和、取极限”可得nk1M为计算此构件的质量,ks1kMkM),,(kkk引例2:(空间)曲线形构件的质量采用二、对弧长的曲线积分的概念1.定义,),(,),(,),(,.,,,.),(,1121niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.),(lim),(,),(,),(,,010niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的积分弧段被积函数积分和式曲线形构件的质量.),(LdsyxM因为ds0.所以对弧长的曲线积分与曲线的方向无关：BAAB2.存在条件：.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf注意：)(,)(.121LLLL是分段光滑的或若.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2LdsyxfLyxf曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数4.性质.),(),()],(),([)1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL(l为曲线弧L的长度)三、对弧长曲线积分的计算)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设定理注意:;.1一定要小于上限定积分的下限基本思路:计算定积分转化求曲线积分例1.计算Lsyxd)(22其中L:x2+y2=a2.L:x=acost,y=asint,0≤t≤2Lsyxd)(22ttatatatad)cos()sin()sincos(22222022taad20232a解推论1:空间R3中的曲线：x=(t),y=(t),z=(t),≤t≤szyxfd),,(xyzOtttttttfd)()()()](),(),([222()例2.计算.d)(23szyx其中：从点A(3,2,1)到点O(0,0,0)的直线段.解：直线段AO方程：123zyx化成参数方程：x=3t,y=2t,z=t,0≤t≤1.ttttszyxd123))2()3((d)(222210323ttd143110314431例3.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:szyxd)(222ttkakad][π2022222)π43(3π222222kaka线dds练习.计算其中为球面解:,11)(:24122121zxyx:π202)sin2(2)sin2(π18d229π20Id2cos221z.1的交线与平面zx29222zyx化为参数方程21cos2xsin2y则推论2:.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL口诀:“一代、二换、三定限”代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换：换弧微元dtyxds22定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数例4.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)O1Lxy2xy)1,1(B例5.计算.dsyL其中L为y2=2x自点(0,0)到点(2,2)的一段弧.xxxsyLd2112d20解1：0≤x≤2,2:xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220＋)155(31解2：0≤y≤2,2:2yxLyyysyLd1d202yyxsddd1d2yyd12)155(31022yx22yx例6.计算Lsyxd)(L:连接O(0,0),A(1,0),B(0,2)的闭折线OABO.解：L分段光滑BOABOALds=dx21d)0(d)(10xxsyxOAOA:y=0,0≤x≤1O2AByx110d5))22((d)(xxxsyxABAB:y=22x,0≤x≤1xysd'1d2xd552320dd)(yysyxBOBO:x=0,0≤y≤2ds=dy=2252321d)(Lsyx)535(21O2AByx1如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则)sin)(,cos)((rrfd)()(22rr推论3：例7.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)4π0(2cos:1arL利用对称性,得4π022d)()(cos4rrr4π02dcos4aOyx练习.设C是由极坐标系下曲线,ar0及4π所围区域的边界,求提示:分段积分xyOa4πxy0yar注关于对弧长的曲线积分的对称性①若L关于y轴对称Ldsyxf),(对Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时当LLdsyxfdsyxfyxfyxf1),(2),(),(),()2(时当其中L1是L的关于y轴对称的部分弧段0,),(|),(1xLyxyxL②若L关于x轴对称Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时当LLdsyxfdsyxfyxfyxf2),(2),(),(),()2(时当其中L2是L的关于x轴对称的部分弧段0,),(|),(2yLyxyxL“你对称，我奇偶”③若L关于原点对称Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时当LLdsyxfdsyxfyxfyxf3),(2),(),(),()2(时当其中L3是L的对称的部分弧段00,),(|),(3yxLyxyxL例8：已知椭圆134:22yxL周长为a,求syxxyLd)432(22提示:0d2sxyL原式=syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用对称性思考题.0,,22222zyxazyxdsxI为圆周其中求解由轮换对称性,知.222dszdsydsxdszyxI)(31222故dsa32.323a),2(球面大圆周长dsa四、几何与物理应用,),()1(的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长时当的准线，表示柱面曲线的高，表示柱面设SLSyxfz),()3(sL),(yxfz.|),(|LLdsyxfdsZS柱面面积,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对yx.,22LyLxdsyIdsxI曲线弧的重心坐标)5(.,LLLLdsdsyydsdsxx五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移cosABFW“分割”“取点”“求和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABFABF)),(,),((),(yxQyxPyxFABLxy1kMkMABxy1)“分割”.2)“取点”L把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有(,)(,)ΔΔkkkkkPxQyk所做的功为F沿1(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1则用有向线段上任取一点在kykx3)“求和”4)“取极限”nkW1kkkkkkyξQxP),(),(nkW10lim(,,ΔΔkkkkkkPξη)xQ(ξη)y(其中为n个小弧段的最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykx2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxsLLyyxQxyxPsFd),(d),(d)),,(,),,(,),,((),,(zyxRzyxQzyxPzyxF)d,d,(ddzyxs类似地,3.性质(2)用L－表示L的反向弧,则LyyxQxyxPd),(d),(•定积分是第二类曲线积分的特例.说明:•对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!.,)1(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分)](),([ttP)(t)(ttd)](),([ttQ连续,存在,且有一代、二换、三定限曲线积分化成参变量的定积分代将L的参数方程代入被积函数换dttydydttxdx)(,)(定限下限——起点参数值上限——终点参数值特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(