2018届高三数学一轮复习-函数的图像及其应用

函数的图像及其应用本节主要包括2个知识点：1.函数的图象；2.函数图象的应用问题.突破点(一)函数的图象基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.利用描点法画函数图象的流程2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y＝f(x)――――――――――→a0，右移a个单位a0，左移|a|个单位y＝；y＝f(x)―――――――――――→b0，上移b个单位b0，下移|b|个单位y＝.f(x－a)f(x)＋b(2)伸缩变换：y＝f(x)―――――――――――――――――――――――→A1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍0A1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍y＝．Af(x)f(ωx)．(3)对称变换：y＝f(x)――――――→关于x轴对称y＝；y＝f(x)――――――→关于y轴对称y＝；y＝f(x)―――――――→关于原点对称y＝．(4)翻折变换：y＝f(x)――――――――――――――――→去掉y轴左边图，保留y轴右边图将y轴右边的图象翻折到左边去y＝；y＝f(x)―――――――――――――――→保留x轴上方图将x轴下方的图象翻折到上方去y＝.－f(x)f(－x)－f(－x)f(|x|)|f(x)|考点贯通抓高考命题的“形”与“神”作函数的图象[例1]作出下列函数的图象：(1)y＝12|x|；[解]作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图中实线部分．[解](2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图．(3)因为y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2x－1x－1；[解]因为y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．(4)y＝x2－2|x|－1.[方法技巧]函数图象的画法[例2](1)(2016·广西第一次质量检测)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是()函数图象的识别[解析]易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.且当0x1时，y0；当x1时，y0，故选B.[答案]B(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为()[解析]法一：由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝8－2x2＝4－x所以y＝x(4－x)－π4＝－(x－2)2＋4－π4(1≤x≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x＝2时，y＝4－π4∈(3,4)，故选D.法二：在判断出点P的轨迹后，发现当x＝1时，y＝3－π4∈(2,3)，故选D.[答案]D有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．[方法技巧]能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．(2016·滨州模拟)函数y＝sinxx，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是()解析：函数y＝sinxx，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，又当x→π时，y＝sinxx→0，故选A.答案：A[考点二]2．函数f(x)＝lnx－1x的图象是()[考点二]解析：自变量x满足x－1x＝x2－1x0，当x0时，可得x1，当x0时，可得－1x0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A、D.函数y＝x－1x单调递增，故函数f(x)＝lnx－1x在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B变式1：【考点二】变式2：【考点二】解：变式3：【考点二】变式3：【考点二】变式4：【考点二】变式5：【考点二】变式6：【考点二】变式7：【考点二】12.2xAx变式8：【考点二】3．定义一种运算：g⊗h＝gg≥h，hgh，已知函数f(x)＝2x⊗1，那么函数f(x－1)的大致图象是()解析：由定义知，当x≥0时，2x≥1，∴f(x)＝2x，当x0时，2x1，∴f(x)＝1，∴f(x)＝2x，x≥0，1，x0，其图象易作，f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.答案：B[考点二]4．[考点二]如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()解析：当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.答案：C解：(2)用描点法作出函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]的图象，如图(2)所示．(3)可先作出y＝x－1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变可得y＝|x－1|的图象．如图(3)中实线部分所示．(2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]；(3)y＝|x－1|，x∈R.突破点(二)函数图象的应用问题利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用函数图象研究函数的性质[例1]已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析]将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值符号得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案]C利用图象研究函数性质问题的思路对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)由图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)由图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)由图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．[方法技巧]利用函数图象解决方程根的问题[例2]已知f(x)＝|lgx|，x0，2|x|，x≤0，则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为________．[解析]方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝12或f(x)＝1.作出y＝f(x)的图象，由图象知直线y＝12与函数y＝f(x)的图象有2个公共点；直线y＝1与函数y＝f(x)的图象有3个公共点．故方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0有5个解．[答案]5利用函数的图象解决方程根问题的思路当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．[方法技巧]利用函数图象解不等式[例3](1)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式fxcosx0的解集为________．[解析]在0，π2上y＝cosx0，在π2，4上y＝cosx0.由f(x)的图象知在1，π2上fxcosx0，因为f(x)为偶函数，y＝cosx也是偶函数，所以y＝fxcosx为偶函数，所以fxcosx0的解集为－π2，－1∪1，π2.[答案]－π2，－1∪1，π2[解析]由f(x)≤1＋sinx，得ax＋cosx≤1＋sinx，即ax≤2sinx－π4＋1，构造函数g1(x)＝ax，g2(x)＝2sinx－π4＋1，如图所示，若使ax≤2sinx－π4＋1恒成立，(2)设函数f(x)＝ax＋cosx，x∈[0，π]．设f(x)≤1＋sinx，则a的取值范围为________．则函数g1(x)＝ax的图象总在函数g2(x)＝2sinx－π4＋1的图象的下方．因为x∈[0，π]，A(π，2)，kOA＝2π，所以a的取值范围为－∞，2π.[答案]－∞，2π利用函数图象求解不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．[方法技巧]能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0解析：因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；由y＝lgx―――――――――――――→图象向左平移1个单位长度y＝lg(x＋1)――――――――――――――――――――――――――――――――→去掉y轴左侧的图象，以y轴为对称轴，作y轴右侧图象的对称图象y＝lg(|x|＋1)―――――――――――――→图象向右平移2个单位长度y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．答案：B2．[考点三]设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析：因为f(x)为奇函数，所以不等式fx－f－xx0可化为fxx0，即xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)0的解集为(－1,0)∪(0,1)．答案：D3．[考点二]已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案：C4．[考点二]直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．解析：y＝x2－x＋a，x≥0，x2＋x＋a，x0，作出图象，如图所示．此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－14，要使y＝1与其有四个交点，只需a－141a，∴1a54.答案：1，545．[考点三]设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(