2018届高三数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算课件理

理数课标版第一节平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念教材研读名称定义备注向量既有①大小又有②方向的量;向量的大小叫做向量的③长度(或④模)向量由方向和长度确定,不受位置影响零向量长度为⑤0的向量;其方向是任意的记作⑥0单位向量长度等于⑦1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为± 平行向量方向⑧相同或⑨相反的非零向量0与任一向量 平行(或共线)共线向量⑩方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度 相等且方向 相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度 相等且方向 相反的向量0的相反向量为0||aa2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得 b=λa. 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. (√)(2) = - . (√)(3)向量 与向量 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上. (×)(4)已知a,b是两个非零向量,当a,b共线时,一定有b=λa(λ为常数),反之也成立. (√)BAOAOBABCD1.下列说法正确的是 ()A. ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量长度等于0D.共线向量是在同一条直线上的向量答案C ∥ 包含 所在的直线与 所在的直线平行和重合两种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D错.ABCDABCDABCDABCD2.在四边形ABCD中, = ,且| |=| |,那么四边形ABCD为()A.平行四边形B.菱形C.长方形D.正方形答案B = ,则四边形ABCD为平行四边形.又| |=| |,则四边形ABCD为菱形,故选B.ABDCABBCABDCABBC3.已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2 + =0,则 = ()A.2 - B.- +2 C.  -  D.-  +  答案A解法一: = + = +2 = +2( - ),∴ =2 - .故选A.解法二:由2 + =0,得2( - )+( - )=0,整理得 =2 - .故选A.ACCBOCOAOBOAOB23OA13OB13OA23OBOCOBBCOBACOBOCOAOCOAOBACCBOCOAOBOCOCOAOB4.在▱ABCD中, =a, =b, =3 ,M为BC的中点,则 =(用a,b表示).答案- a+ b解析由 =3 ,得 =  = (a+b),又 =a+ b,所以 = - = (a+b)- =- a+ b.ABADANNCMN1414ANNCAN34AC34AM12MNANAM3412ab14145.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=.答案- 解析由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)],所以 解得 13,13,λkk1,31.3kλ考点一向量的有关概念考点突破典例1给出下列命题:(1)若|a|=|b|,则a=b;(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则 = 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;(3)若a=b,b=c,则a=c;(4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b;(5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c.其中假命题的个数为 ()A.2B.3C.4D.5ABDC答案B解析(1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由|a|=|b|推不出a=b.(2)正确.若 = ,则| |=| |且 ∥ .又∵A、B、C、D是不共线的四点,∴四边形ABCD是平行四边形.反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB􀱀DC且 与 方向相同,因此 = .(3)正确.∵a=b,∴a、b的长度相等且方向相同.∵b=c,∴b、c的长度相等且方向相同.∴a、c的长度相等且方向相同,∴a=c.ABDCABDCABDCABDCABDC(4)不正确.当a∥b,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故 不是a=b的充要条件.(5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线.||||,abab易错警示(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,不要与线段的共线、平行混为一谈.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与 的关系: 是a方向上的单位向量.||aa||aa1-1设a0为单位向量,下述命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是 ()A.0B.1C.2D.3答案D向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.考点二向量的线性运算典例2(1)(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点, =3 ,则 ()A. =-  +  B. =  -  C. =  +  D. =  -  (2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= AB,BE= BC.若 =λ1 +λ2 (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.BCCDAD13AB43ACAD13AB43ACAD43AB13ACAD43AB13AC1223DEABAC答案(1)A(2) 解析(1) = + = + + = +  = + ( - )=-  +  .故选A.12ADABBDABBCCDAB43BCAB43ACAB13AB43AC(2) = + =  +  =  + ( - )=-  +  ,∵ =λ1 +λ2 ,∴λ1=- ,λ2= ,故λ1+λ2= .DEDBBE12AB23BC12AB23ACAB16AB23ACDEABAC162312方法技巧(1)进行向量线性运算时,要尽可能地将其转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量,相反向量,三角形中位线的性质及相似三角形对应边的性质等,把未知向量用已知向量表示出来.(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用.2-1(2016乐山模拟)如图,点M是△ABC的重心, =x +y ,则x+y= ()CMMAMB A. B.1C. D.2答案D由题意,得点F是AB的中点,所以 + =2 ,因为点M是△ABC的重心,所以 =2 = + ,又 =x +y ,所以x=y=1,x+y=2.5632MAMBMFCMMFMAMBCMMAMB2-2在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若 =a, =b,则 等于 ()A. a+ bB. a+ bC. a+ bD. a+ b答案B如图, = + , 由题意知,△ABE∽△FDE,∴DE∶BE=1∶3=DF∶AB,∴ =  ,ACBDAF1412231312141323AFADDFDF13AB∴ = a+ b+  = a+ b.AF1212131122ab2313考点三共线向量定理的应用典例3设两个非零向量a与b不共线.(1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.解析(1)证明:∵ =a+b, =2a+8b, =3(a-b),∴ = + =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 ,∴ , 共线,又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,ABBCCDABBCCDBDBCCDABABBD∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.方法技巧1.共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.(2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.2.证明三点共线的方法若 =λ ,则A、B、C三点共线.ABAC变式3-1若将本例(1)中“ =2a+8b”改为“ =a+mb”,则m为何值时,A、B、D三点共线?解析 + =(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即 =4a+(m-3)b.若A、B、D三点共线,则存在实数λ,使 =λ ,即4a+(m-3)b=λ(a+b),∴ 解得m=7.故当m=7时,A、B、D三点共线.BCBCBCCDBDBDAB4,3,λmλ变式3-2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解析因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ0),所以 所以k=±1.又λ0,k=λ,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.,1,kλkλ