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高三数学四模试卷第1页·共6页南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2018届高三年级第四次模拟考试数学I参考公式：球的体积公式：34π3Vr，其中r为球的半径；样本数据12nxxx，，，的方差2211niisxxn,其中11niixxn．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知复数z＝1＋2i（i为虚数单位），则z2的值为▲．2．某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是▲．3．袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为▲．4．执行如图所示的伪代码，输出的结果是▲．5．设集合A＝[－1，0]，B＝{y|y＝(12)x2－1，x∈R}，则A∪B＝▲．6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为3，则此双曲线的准线方程为▲．7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为36，则这个球的体积为▲．8．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，横坐标分别为1，7．记点P(2，f(2))，点Q(5，f(5))，则MP→·NQ→的值为▲．（第8题图）9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则∠C的值为▲．10．已知函数f(x)＝ln|x|－x－2，则关于a的不等式f(2a－1)－f(a)＜0的解集为▲．S←1I←2WhileS≤100I←I＋2S←S×IEndWhilePrintIMNyxO17高三数学四模试卷第2页·共6页11．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2，且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则1b1b2＋1b2b3＋…＋1b10b11的值是▲．12．已知关于x的方程x2－6x＋(a－2)|x－3|－2a＋9＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是▲．13．已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝1＋zxy＋1z的最小值是▲．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0)的上半支(y≥0)与圆(x－2)2＋y2＝3相交于A，B两点，直线y＝x恰好经过线段AB的中点，则p的值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量m＝(cosx，－sinx)，n＝(cosx，sinx－23cosx)，x∈R．设f(x)＝m·n．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f(A)＝1，a＝23，c＝2，求△ABC的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AA1，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．(1)求证：MN∥平面A1ACC1；(2)求证：平面A1BC⊥平面MAC．（第16题图）AMA1CBB1C1N高三数学四模试卷第3页·共6页17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，且△AF1F2的周长是4＋23．(1)求椭圆C的方程；(2)当AB＝32DE时，求△ODE的面积．18．（本小题满分16分）如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计），其中OM为东西走向，Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直线OM，ON的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．(1)求有轨观光直路AB的长；(2)已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型音乐喷泉组合，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，r＝2at(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿(1)中的轨道BA以2(百米/分钟)的速度开往休息区A．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．AOBPQMN（第18题）高三数学四模试卷第4页·共6页19．（本小题满分16分）已知f(x)＝lnx－ax3，g(x)＝aexe．(1)若直线y＝x与y＝g(x)的图象相切，求实数a的值；(2)若存在x0∈[1，e]，使f(x0)＞(1－3a)x0＋1成立，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使f(x)＋g(x)≤0对任意x∈(0，2)恒成立?证明你的结论．20．(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{an}满足，a1＝1，an＋1＝λan2＋2an＋μan＋1，n∈N*．(1)当λ＝2，μ＝0时，求证：数列{an}是等比数列；(2)若数列{an}是等差数列，求λ＋μ的值；(3)若λ＝1，μ为正常数，无穷项等比数列{bn}满足a1≤bn≤an．求{bn}的通项公式．高三数学四模试卷第5页·共6页南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2018届高三年级第四次模拟考试数学II（附加题）21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．B．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A21bc，矩阵A属于特征值1的一个特征向量为11．求矩阵A的逆矩阵．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为2214xy．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos224．点P为椭圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，求线段PQ的最小值．D．选修4—5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+2b+4c=3，求111111abc的最小值．高三数学四模试卷第6页·共6页【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：日期星期一星期二星期三星期四星期五保养车辆尾号0和51和62和73和84和9该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A，B，C．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车的概率依次为23，23，12，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．(1)求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；(2)设X表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X)．23．设集合1235Snn，，，，≥，对S的每一个4元子集，将其中的元素从小到大排列，并取出每个集合中的第2个数．记取出的所有数的和为Fn．(1)求5F的值；(2)求证：F(n)C5n＋1为定值．