2013高考数学一轮复习课件：第一节数列的概念与简单表示法(精)

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法抓基础明考向提能力教你一招我来演练[备考方向要明了]考什么了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).怎么考1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公式的求法以及数列的性质．2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大.一、数列的定义按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)．一定顺序项首项二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数无穷数列项数按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项无限有限三、数列与函数的关系1．从函数观点看，数列可以看成是以为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列．2．数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法．函数值正整数集N*(或N*的有限子集{1,2,3，…，n})四、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．序号n五、数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且与(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．任一项an它的前一项an－1答案：B1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是()A．an＝n2n＋1B．an＝n2n－1C．an＝n2n－3D．an＝n2n＋32．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1，则这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列答案：A3．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是()A．－3B．－11C．－5D．19答案：A解析：由an＋1＝an＋2＋an得an＋2＝an＋1－an∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－5，a6＝a5－a4＝－3.4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1n为偶数，2n－5n为奇数则a4·a3＝________.答案：54解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.5．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋qn，且a2＝32，a4＝32，则a8＝________.解析：由已知得2p＋q2＝32，4p＋q4＝32，解得p＝14，q＝2.则an＝14n＋2n，∴a8＝94.答案：941．求通项公式的技巧根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分(不变量)，再找出不同的部分(可变量)与序号之间的关系，并用n表示出来．不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一．2．数列中最大项和最小项的求法求数列中最大(小)项均须借助数列的通项公式，求最大项的方法：设an为最大项，则有an≥an－1；an≥an＋1；求最小项的方法：设an为最小项，则有an≤an－1，an≤an＋1.[精析考题][例1](2012·天津南开中学月考)下列可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－|sinnπ2|D．an＝－1n－1＋32[答案]C[自主解答]由an＝2－|sinnπ2|可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·绍兴模拟)已知数列2，7，10，13，4，…，则27是该数列的()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项解析：易于观察前5项可写成4，7，10，13，16，故而可归纳通项公式为3n＋1，故令3n＋1＝27，∴n＝9.答案：C2．写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写成an＝－1nn为正奇数，3nn为正偶数.[冲关锦囊]1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与n之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决.[精析考题][例2](2011·四川高考)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1[自主解答]a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.[答案]A[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·温州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝nn＋1，则1a5＝()A.56B.65C.130D．30答案：D解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1nn＋1，∴a5＝15×6＝130.∴1a5＝30.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝4n＋b.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.又∵a1＝－1，适合an＝4n－5，∴an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝4＋b.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，因此，当b＝－1时，a1＝3适合an＝3·4n－1，∴an＝3·4n－1.当b≠－1时，a1＝4＋b不适合an＝3·4n－1，∴an＝4＋b，n＝1，3·4n－1，n≥2.综上可知当b＝－1时，an＝3·4n－1；当b≠－1时，an＝4＋b，n＝1，3·4n－1，n≥2.[冲关锦囊]数列的通项an与前n项和Sn的关系是：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.此公式经常使用，应引起重视．当n＝1时，S1若适合an＝Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an中；当n＝1时，S1若不适合an＝Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.[精析考题][例3](2012·郑州质检)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－ann＝2，则ann的最小值为()A．9.5B．10.6C．10.5D．9.6[自主解答]由题意可知an＋1＝an＋2n，由迭代法可得an＝a1＋2[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]＝n2－n＋33，从而当n＝6时，ann取得最小值10.5.[答案]C若本例条件变为：数列{an}满足下列条件：a1＝1，且对于任意的正整数n(n≥2，n∈N*)，有2an＝2nan－1，则a100的值为________．解析：＝2n－1，∴a100＝a100a99·a99a98…a2a1·a1＝299·298…21·1＝2100×(99+0)2＝24950.答案：24950[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·沈阳模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1－1nn－1(n≥2)，则a16＝________.解析：由an＝an－1－1nn－1(n≥2)．得an＝an－1＋1n－1n－1(n≥2)．∴a2＝a1＋12－1，a3＝a2＋13－12，a4＝a3＋14－13，…，a15＝a14＋115－114，a16＝a15＋116－115.相加得a16＝a1＋116－1＝116.答案：1166．分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＝nn－1an－1(n≥2，n∈N*)．解：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.(2)n≥2，n∈N*时，an＝a1×a2a1×a3a2×…×anan－1＝1×21×32×…×n－2n－3×n－1n－2×nn－1＝n，所以该数列的通项公式为an＝n.[冲关锦囊]由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．1．对于形如“an＋1＝an＋f(n)”型的递推关系式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法．2．对于形如“an＋1an＝g(n)”型的递推关系式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累积或迭代的方法．3．对于形如“an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)”型递推关系求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法．解题样板赋值法在解答数列问题中的应用[考题范例](2011·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()A．1B．9C．10D．55答案：A[快速得分]∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.令m＝1得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1，即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.[高手点拨]本题欲求a10，则要先求an，而题目提供的是Sn的关系式，联想到an与Sn的关系，则只要求出Sn即可．本题提供关系式表面上显得复杂，但考虑到我们需要的，只要令m＝1，问题便可轻松解决．点击此图进入