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1第1章集合与简易逻辑§1–1集合一、集合的概念1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．(A)②③(B)①③(C)②④(D)①②④解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．1.1.2下列集合中，有限集是()．(A){x|x10，x∈N}(B){x|x10，x∈Z}(C){x|x210，x∈Q}(D){x|x＝y＋10，y∈R}解析由N表示自然数集得{x|x10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．1.1.3若集合M＝{x|x≤6}，a＝√，则下列结论中正确的是()．(A){a}M(B)aM(C){a}∈M(D)a∉M解析因为√6，则√∈M，{a}M，所以，答案为A．1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{y|y2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．(A)A＝B(B)AB(C)A∈B(D)AB解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，AB，答案为B．1.1.5下列四个关系中，正确的是()．(A)∅∈{0}(B)0∉{0}(C){0}∈{0，1}(D)0∈{0，1}解析∅与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{，，}，则b－a＝()．(A)1(B)－1(C)2(D)－2解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则＝－1，又－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．1.1.7用适当的方式写出下列集合：(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；2(2)不大于6的非负整数所组成的集合；(3)所有正奇数组成的集合；(4)方程x3＋6＝0的实数解构成的集合；(5)不等式x2－5x＋40的解集；(6)直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合；(7)直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合．解析(1)组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．(2)不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．(3)所有正奇数组成的集合是{x|x＝2k＋1，k∈N}．(4)方程x3＋6＝0的实数解构成的集合是{x|x3＋6＝0，x∈R}．(5)不等式x2－5x＋40的解集{x|x2－5x＋40}或写成{x|1x4}．(6)直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x，y)|x0且y0}．(7)直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合是{(x，y)|y＝2x－1}．1.1.8已知集合A＝{1，3，x}，集合B＝{1，x2}，若有BA且x∉B，则A＝．解析由x2∈A及x∉B得x2＝3，解得x＝±√，经检验此x的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A＝{1，3，√}或{1，3，－√}．1.1.9集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是．解析由已知可得{－－，＋，解得－1≤m≤．1.1.10若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为()．(A)9(B)6(C)4(D)2解析将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)的坐标代入不等式组{－＋，－－，可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N内，所以，答案为C．1.1.11定义集合运算：A☉B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为()．(A)0(B)6(C)12(D)18解析由已知可得A☉B＝{0，6，12}，所以，A☉B中所有元素之和为18，答案为D．1.1.12设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()．(A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加3法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C．1.1.13集合M＝{x|a1xb1}，N＝{x|a2xb2}，其中常数a1b1a2b2≠0，则“＝”是“M＝N”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析若a1＝b1＝1，a2＝b2＝－1，则有＝，此时，M＝{x|x1}，N＝{x|x1}，M≠N；若M＝N，则必有a1a20，于是，M＝{|}，N＝{|}，或者，M＝{|}，N＝{|}，于是，＝，即＝，所以，“＝”是“M＝N”的必要不充分条件，答案为B．1.1.14已知集合M＝{x|x≤a2＋b2}，其中a，b是常数．给出下列四个命题：①2ab一定属于M②2ab一定不属于M③－2ab一定属于M④－2ab一定不属于M其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．解析由(a－b)2≥0和(a＋b)2≥0对任意a，b∈R恒成立可得2ab≤a2＋b2，－2ab≤a2＋b2，所以，2ab∈M，－2ab∈M，在上述四个命题中，①和③是正确的．1.1.15已知集合A是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意x∈A，必有3－∈A．问：(1)集合A可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由；(2)集合A可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由．解析(1)若集合A中有且仅有一个元素x，则3－＝x，即x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以，集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．(2)集合{1，2}是满足要求的二元集．若集合A＝{a，b}是满足要求的二元集，并且{－＝，－＝，即{－＝，－＝，则a＝b，矛盾，所以，满足要求的二元集只能是{1，2}．1.1.16同时满足{1}A⊆{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是()．(A)5(B)6(C)7(D)8解析若A为二元集，则A可为{1，2}、{1，4}；若A为三元集，则A可为{1，2，44}、{1，3，5}；若A为四元集，则A可为{1，2，3，5}、{1，3，4，5}；若A为五元集，则A可为{1，2，3，4，5}，所以，共有7个符合条件的集合，答案为C．1.1.17对于集合A和B，当AB时，下列集合之间的关系一定不能成立的是()．(A)∅⊆A(B)∅B(C)B＝∅(D)A＝∅解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由AB可得B≠∅，所以，答案为C．1.1.18下列各组集合中，M与P表示同一个集合的是()．(A)M＝{(1，－3)}，P＝{(－3，1)}(B)M＝∅，P＝{0}(C)M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}(D)M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}解析(1，－3)与(－3，1)是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元素，它不是空集．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}是二次函数y＝x2＋1的因变量的集合，它是一个数集，而集合P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线，它是点的集合．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{y|y≥1}，所以，答案为D．1.1.19写出集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2且x＋y＝0}的所有子集：．解析集合A＝{(1，－1)，(－1，1)}，所以，A的所有子集是∅，{(1，－1)}，{(－1，1)}，{(1，－1)，(－1，1)}．1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：(1)方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合：；(2)函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合：；(3)函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合：．解析(1)方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合是{x|x2＋2＝0，x∈R}＝∅；(2)函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{y|y＝3x＋2，1≤x≤3}＝{y|5≤y≤11}；(3)函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合是{y|y＝－x2＋4x＋3，x∈R}＝{y|y≤7}．1.1.21已知集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a的值是．解析要使得集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a＝0或Δ＝22－4a＝0，所以，a＝0或a＝1．1.1.22关于x的不等式|－＋|≤－的解集是A，关于x的不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1≤0其中a∈R)的解集是B，求使A⊆B的a的取值范围．5解析不等式|－＋|≤－的解集A＝[2a，a2＋1]．不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1≤0即为(x－2)(x－3a－1≤0．若a≥，则B＝[2，3a＋1]；若a，则B＝[3a＋1，2]．由A⊆B得{，，＋＋或{，＋，＋，解得1≤a≤3或a＝－1．所以，a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3．1.1.23已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0，x∈R}，若B⊆A，C⊆A，求实数a，b应满足的条件．解析集合A＝{1，2}，而x2－ax＋(a－1)＝0即为(x－1)(x－a＋1)＝0，若a－1＝1，即a＝2，则B＝{1}满足；若a－1≠1，即a≠2，则B＝{1，a－1}，由B⊆A知a－1＝2，即a＝3．对于集合C，由C⊆A知，若C＝∅，则Δ＝(－b)2－80，解得－2√b2√；若C为单元集，则Δ＝(－b)2－8＝0，此时C＝{√}或C＝{－√}，与C⊆A矛盾；若C＝{1，2}，即C中方程两根为1和2，则b＝3．所以，a，b应满足的条件是a＝2或a＝3而－2√b2√或b＝3．1.1.24已知集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|x＋y＝3，0≤x≤3}，若有且仅有一个点同时属于集合A和B，求实数m的取值范围．解析由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点．由{＝－＋－，＋＝，得x2－(1＋m)x＋4＝0，该方程在区间[0，3]上只有一个解．若Δ＝(m＋1)2－16＝0，则m＝3或m＝－5，如果m＝3，解得x＝2；如果m＝－5，解得x＝－2∉[0，3]，于是m＝－5舍去．若Δ0，则记f(x)＝x2－(1＋m)x＋4，此时，只需f(3)0，即9－3(m＋1)＋40，解得m．所以，m的取值范围是m或m＝3．1.1.25设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si＝{ai，bi}，Sj＝{aj，bj}(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k})，都有min{，}≠min{，}(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的最大值是()．(A)10(B)11(C)12(D)13解析集合M的所有两元子集是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共计156个，其中，不同min{，}(i＝1，2，…，15)有，，，，，，，，，，共11个，所以，答案为B．1.1.26设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b√