高中数学：1.3.1《单调性习题课》课件(新人教A版必修1)

函数的单调性习题课复习准备对于给定区间D上的函数f(x)，若对于D上的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)()f(x2),则称f(x)是D上的增（减）函数，区间D称为f(x)的增（减）区间。1、函数单调性的定义是什么？复习准备1、函数单调性的定义是什么？2、证明函数单调性的步骤是什么？证明函数单调性应该按下列步骤进行：第一步：取值第二步：作差变形第三步：定号第四步：判断下结论复习准备1、函数单调性的定义是什么？2、证明函数单调性的步骤是什么？3、现在已经学过的判断函数单调性有些什么方法？数值列表法（不常用）、图象法、定义法题型一：用定义证明函数的单调性例1、判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？是减函数，证明如下：上，在解：)0(1)(3xxf2121,,)0(xxxx且上任取，在))(()1()1()()(22221123231211xxxxxxxxxfxf222211243)2()(xxxxx043)2(,02222112xxxxx又)()(,0)()(2121xfxfxfxf即所以f(x)在(－∞,0)上是减函数证明函数单调性的问题，只需严格按照定义的步骤就可以了。题型二：图象法对单调性的判断例2：指出下列函数的单调区间：3222112xxyxy例2：指出下列函数的单调区间：3221122xxyxy如果函数的图象比较好画，我们就画图象观察——图象法利用图象法求单调区间的时候，应特别注意某些特殊点，尤其是图象发生急转弯的地方。用它们将定义域进行划分，再分别考察。题型二：图象法对单调性的判断结论1：y＝f(x)(f(x)恒不为0），与的单调性相反。)(1xfy题型三：利用已知函数单调性判断例3：判断函数xxxy4)2(22在(1,+∞)上的单调性。）上为减函数。在递减，故原函数）＋（为正数且增函数，时，而当（解：,1(4244)2(1,4)241222xxuxxy题型三：利用已知函数单调性进行判断例4：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y＝3－2f(x)在A上的单调性，并说明理由。解：y=3－2f(x)在A上是增函数，因为：任取x1，x2∈A，且x1x2,由f(x)在A上为减函数，所以f(x1)f(x2),故－2f(x1)－2f(x2)所以3－2f(x1)3－2f(x2)即有y1y2,由定义可知，y＝3－2f(x)在A上为增函数。结论2：y＝f(x)与y＝kf(x)当k0时，单调性相同；当k0时，单调性相反。题型三：利用已知函数单调性进行判断结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则f(x)+g(x)也是增函数。结论4：若f(x)在R上是增函数，g(x)在R上是减函数，则f(x)－g(x)也是增函数结论5：若f(x)(其中f(x)0)在某个区间上为增函数，则也是增函数)1()(,)(nxfxfnn结论6：复合函数f[g(x)]由f(x)和g(x)的单调性共同决定。它们之间有如下关系：f(x)g(x)f[g(x)]题型三：利用已知函数单调性进行判断练习：求函数6)(2xxxf的单调区间。答案：(－∞,－3]单减区间[2,+∞)单增区间注意：求单调区间时，一定要先看定义域。题型四：函数单调性解题应用例1：已知函数y=x2－2ax＋a2－1在(－∞,1)上是减函数，求a的取值范围。1],a)1],1222aaaaxxy即，（－，显然，（－，的减区间是（－解：解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。练习：如果f(x)=x2－(a－1)x+5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？答案：[7,＋∞）题型四：利用函数单调性解题例2：已知x∈[0,1],则函数的最大值为_______最小值为_________xxy12221120]1,0[)()(]1,0[)(]1,0[)(1)(22)(maxminyxyxxgxfyxgxfxxgxxf时，当－＝时，当上的增函数，是上的减函数是上的增函数，是则解：令利用函数的单调性求函数的值域，这是求函数值域和最值的又一种方法。题型四：利用函数单调性解题例3：已知：f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)f(x2－1),求x的取值范围。可转化为不等式组解：依题意，)1x()1(2fxf1111111122xxxx1020202xxxx或21x注：在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制。保证实施的是等价转化题型四：利用函数单调性解题例4：已知f(x)在其定义域R＋上为增函数，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x－2)≤33)2()4()8(2)2()2()4()()()(ffffffyfxfxyf解：)2()2()(2xxfxfxf又)8()2(2fxxf由题意有82020R)(2xxxxxf上的增函数为＋42，解得x解此类题型关键在于充分利用题目所给的条件，本题就抓住这点想办法构造出f(8)=3,这样就能用单调性解不等式了。题型五：复合函数单调区间的求法例1：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2－x)的单调区间。上是单调递减的。），（－在，由复合函数单调性可知是单减的，上在又），（－），（而）上是增函数，，（在则由已知得解：令04)]([)2()0,4(2)(04622)(62)(,2)(xxtfxfxxxtxxxtttfxxt），的单减区间是（－04)2(xf小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？取值作差变形定号下结论小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？1、定义法2、图象法3、利用已知函数的单调性，通过一些简单结论、性质作出判断。4、利用复合函数单调性的规则进行判断。小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？1、已知单调性，求参数范围。（有时候需要讨论）3、利用单调性求解不等式。（重在转化问题）2、利用函数单调性求函数的值域或最值。4、求函数单调区间的题型（包括求复合函数单调区间）