第一部分考点通关练第八章概率与统计考点测试58二项式定理第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1.2x-1x4的展开式中的常数项为()A.-24B.-6C.6D.24解析二项展开式的通项Tr+1=Cr4(2x)4-r-1xr=Cr424-r(-1)r·x4-2r,令4-2r=0,即r=2,故常数项为C2422(-1)2=24.2.若二项式x-2xn的展开式中第5项是常数项,则自然数n的值可能为()A.6B.10C.12D.15解析二项式x-2xn的展开式的第5项为T5=C4n(x)n-4·-2x4,故n-42-4=0,即n=12.3.若多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9=()A.9B.10C.-9D.-10解析x3+x10=x3+[(x+1)-1]10,题中a9只是[(x+1)-1]10的展开式中(x+1)9的系数,故a9=C110(-1)1=-10.4.(1+2x)3(1-3x)5的展开式中x的系数是()A.-4B.-2C.2D.4解析(1+2x)3的展开式中常数项是1,含x的项是C23(2x)2=12x;(1-3x)5的展开式中常数项是1,含x的项是C35(-3x)3=-10x,故(1+23x)3(1-3x)5的展开式中含x项的系数为1×(-10)+1×12=2.5.ax+1x(2x-1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为()A.-20B.-10C.10D.20解析令x=1,可得a+1=2,所以a=1,所以ax+1x(2x-1)5=x+1x(2x-1)5,则展开式中常数项为2C45(-1)4=10.6.若x+2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.180B.120C.90D.45解析由于展开式中只有第六项的二项式系数最大,故第六项为中间项,共有11项,所以n=10,Tr+1=Cr102x2r·(x)10-r=Cr102rx10-5r2,令10-5r2=0,得r=2,故常数项是C21022=180.7.若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则a0和a1的值分别为()A.32,80B.32,40C.16,20D.16,10解析由于x+1=x-1+2,因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,故展开式中(x-1)的系数为a1=C4524=80.令x=1,得a0=32,故选A.8.已知x2+12xn(n∈N*)的展开式中,前三项的二项式系数和是56,则展开式中的常数项为()A.45256B.47256C.49256D.51256解析由题意知C0n+C1n+C2n=56,∴n=10,∴Tr+1=Cr10(x2)10-r·12xr=Cr1012rx20-5r2,令20-5r2=0,得r=8,∴常数项为C810×128=45256,故选A.9.x+33xn的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和之比为64,则(1-x)n的展开式中系数最小的项的系数等于________.-20解析展开式中,各项系数的和为4n,二项式系数的和为2n,由题知2n=64,所以n=6,(1-x)6的展开式中,第四项的系数最小,为-C36=-20.10.1+3C1n+9C2n+…+3nCnn=________.4n解析在二项展开式(1+x)n=C0n+C1nx+…+Cnnxn中,令x=3,得(1+3)n=C0n+C1n3+C2n32+…+Cnn3n,即1+3C1n+9C2n+…+3nCnn=4n.11.2x-1x6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答).-160解析∵2x-1x6=2x-1x6=2x-16x3,又∵(2x-1)6的展开式的通项公式为Tr+1=Cr6(2x)6-r(-1)r,令6-r=3,得r=3.∴T3+1=-C36(2x)3=-20×23·x3=-160x3,∴2x-1x6的二项展开式中的常数项为-160.12.(x2-x+1)10的展开式中x3的系数为________.-210解析(x2-x+1)10=[x2-(x-1)]10=C010(x2)10-C110(x2)9(x-1)+…-C910(x2)(x-1)9+C1010(x-1)10,所以x3的系数为-C910C89+C1010(-C710)=-210.二、高考小题13.[2015·全国卷Ⅰ](x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60解析由于(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为Tr+1=Cr5(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T3=C25(x2+x)3y2中才能含有x5y2项.设(x2+x)3的展开式的通项为Si+1=Ci3(x2)3-i·xi=Ci3x6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x2+x)3的展开式中x5项的系数是C13=3,故(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是C25·3=10×3=30.14.[2015·湖南高考]已知x-ax5的展开式中含x32的项的系数为30,则a=()A.3B.-3C.6D.-6解析展开式的通项为Tr+1=Cr5·(x)5-r·-axr=(-1)rCr5ar·x52-r(r=0,1,2,…,5).令52-r=32,得r=1,所以展开式中含x32项的系数为(-1)C15·a,于是-5a=30,解得a=-6.15.[2014·浙江高考]在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210解析在(1+x)6的展开式中,xm的系数为Cm6,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为Cn4,故f(m,n)=Cm6·Cn4.从而f(3,0)=C36=20,f(2,1)=C26·C14=60,f(1,2)=C16·C24=36,f(0,3)=C34=4,故选C.16.[2016·全国卷Ⅰ](2x+x)5的展开式中,x3的系数是________(用数字填写答案).10解析Tr+1=Cr5(2x)5-r·(x)r=25-rCr5·x5-r2,令5-r2=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.17.[2016·山东高考]若ax2+1x5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________.-2解析Tr+1=a5-rCr5x10-52r,令10-52r=5,解之得r=2,所以a3C25=-80,a=-2.18.[2015·全国卷Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.3解析解法一:∵(1+x)4=x4+C34x3+C24x2+C14x+C04x0=x4+4x3+6x2+4x+1,∴(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.解法二:设(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,①令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,②由①-②,得16(a+1)=2(b1+b3+b5),即8(a+1)=32,解得a=3.三、模拟小题19.[2016·洛阳二测](x+1)(x-2)6的展开式中x4的系数为()A.-100B.-15C.35D.220解析由二项式定理可得(x-2)6展开式的通项Tr+1=Cr6(-2)rx6-r,∴x3的系数为C36(-2)3=-160,x4的系数为C26(-2)2=60,∴(x+1)(x-2)6的展开式中x4的系数为-160+60=-100.20.[2016·广东测试]x2-12x6的展开式中,常数项是()A.-54B.54C.-1516D.1516解析Tr+1=Cr6(x2)6-r-12xr=-12rCr6x12-3r,令12-3r=0,解得r=4.∴常数项为-124C46=1516.故选D.解析22.[2017·福州质检]若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为_________.56解析因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等,即C2n=C6n,所以n=8,所以展开式的通项为Tk+1=Ck8x8-k1xk=Ck8x8-2k,令8-2k=-2,解得k=5,所以T6=C581x2,所以1x2的系数为C58=56.23.[2016·福建漳州二模]已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,则a2+a3+…+a9+a10的值为()A.-20B.0C.1D.20解析令x=1,得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,又易知a1=C910×21×(-1)9=-20,所以a2+a3+…+a9+a10=20.24.[2017·甘肃会宁月考]1-90C110+902C210-903C310+…+(-1)k90kCk10+…+9010C1010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87解析1-90C110+902C210-903C310+…+(-1)k90kCk10+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C110889+…+C91088+1.∵前10项均能被88整除,∴余数是1.25.[2016·沈阳三模]从重量分别为1,2,3,4,…,10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个,使其总重量恰为9克的方法总数为m,下列各式的展开式中x9的系数为m的选项是()A.(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x11)B.(1+x)(1+2x)(1+3x)…(1+11x)C.(1+x)(1+2x2)(1+3x3)…(1+11x11)D.(1+x)(1+x+x2)(1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x11)解析x9是由x,x2,x3,x4,x5,…,x11中的指数和等于9的那些项的乘积构成,有多少个这样的乘积就有多少个这样的x9,这与从重量分别为1,2,3,4,…,10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个,使其总重量恰为9克的方法的意义一样,所以就是(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x11)的展开式中x9的系数,选A.26.[2016·福建厦门联考]在1+x+1x201510的展开式中,含x2项的系数为()A.10B.30C.45D.120解析因为1+x+1x201510=1+x+1x201510=(1+x)10+C110(1+x)91x2015+…+C10101x201510,所以x2项只能在(1+x)10的展开式中,所以含x2的项为C210x2,系数为C210=45.故选C.27.[2016·广东肇庆三模](x+2y)7的展开式中,系数最大的项是()A.68y7B.112x3y4C.672x2y5D.1344x2y5解析设第r+1项系数最大,则有Cr7·2r≥Cr-17·2r-1,Cr7·2r≥Cr+17·2r+1,即7!r!7-r!·2r≥7!r-1!7-r+1!·2r-1,7!r!7-r!·2r≥7!r+1!7-r-1!·2r+1,即2r≥18-r,17-r≥2r+1,解得