连续体结构屈曲约束的ICM方法拓扑优化

:2006-12-01;:2007-12-03.:(10472003);(20060005010).:(1943-),,,(E-mail:[e-mail].).第25卷第3期2008年6月　　ChineseJournalofComputationalMechanicsVol.25,No.3June2008:1007-4708(2008)03-0345-07ICM隋允康＊1,　边炳传2,　叶红玲1(1.,100022;2.,271021)　:基于ICM(独立、连续、映射)方法解决具有屈曲约束的连续体拓扑优化问题。建立以结构重量为目标,以屈曲临界力为约束的拓扑优化模型;采用独立的连续拓扑变量,借助泰勒展式将目标函数作二阶近似展开;借助瑞利商、泰勒展式、过滤函数将约束化为近似显函数,避免了灵敏度的计算;将优化模型转化为对偶规划,并利用序列二次规划求解,减少了设计变量的数目,缩小了模型的求解规模。给出三个算例,结果表明:该方法可有效地解决屈曲约束的连续体拓扑优化问题,能够得到合理的拓扑结构,并有较高的计算效率。:ICM方法;屈曲约束;拓扑优化;过滤函数:O346.1　　　:A1　,、,。、、,,。,。、,,。,:D.Manick-arajah[1,3]ESO(EvolutionalStructuralOp-timization);[2];LiuTao[4];[5]ESO;[6];[7,9];[8]。,[10];[11]。ICM,[12]、、,,(,),,01,,0-1,,,。,ICM、、,、、,[12-18]。ICM,、,、,,;,。2　2.1　,,,,,,,。,,,,:,,,,:(K+λjG)uj=0　(j=1,…,J)(1)K,G,J,λjj,,uj。λj=ζjP(2)ζj,P。:,,ti=0,;ti=1。0-1,,。,、,“”,,,,,。,ICM[12-18],,,,“--”。,,,,fw(ti)=tai,fk(ti)=tbi,fg(ti)=tbi(3)t,ab,a=1,b=3.3。,,wi=fw(ti)w0i,ki=fk(ti)k0i,gi=fg(ti)g0i(4)wi,ki,gi,,w0i,k0i,g0i,,,ti=1,。,,:　t∈EN　W=∑Ni=1fw(ti)w0i※mins.t.λj(fk(ti),fg(ti))≤λ-j　(j=1,…,J)　　0≤ti≤1　(i=1,…,N)(5)t,W,λ-j,J,N。2.2　,,(1):λj=-uTjKuj/uTjGuj(6)λt,,。,。,(3)(4)K=∑Ni=1k0itbi=K(t),G=∑Ni=1g0itbi=G(t)(7)(7)(1)(K(t)+λjG(t))uj=0(8)(8)uj=uj(t)(9)(9)(8)(K(t)+λjG(t))uj(t)≡0(10)346计算力学学报　第25卷　λj=λj(t)(11)λj/ti,(10)uTj(t)　uTj(t)K(t)uj(t)+λjuTj(t)G(t)uj(t)≡0(12),:xi=1/tbi(13),(7)(12)K=∑Ni=1k0i/xi,　G=∑Ni=1g0i/xi(14)　uTj(x)K(x)uj(x)+λj(x)uTj(x)G(x)uj(x)≡0(15)(15)xi,　　2(uj/xi)T(K+λjG)uj+　　(λj/xi)uTjGuj+uTj(K/xi)uj+　　λjuTj(G/xi)uj=0(16)(1),　　　λj/xi=-[uTj(K/xi)uj+λjuTj(G/xi)uj]/uTjGuj(17)　K/xi=-k0i/x2i=-ki/xi　G/xi=-g0i/x2i=-gi/xi(18)(18)(17),　λj/xi=(uTjkiuj/2+λjuTjgiuj/2)/(uTjGujxi/2)=(Uij+λjVij)/V΢jxi(19)Uij=uTjkiuj/2ji,Vij=uTjgiuj/2ji,V΢j=uTjGujxi/2j。、,,。:λj(t)=λj(x(k))+∑Ni=1λj/xi(xi-x(k)i)=λj(x(k))+∑Ni=1xi/V΢jx(k)i(U(k)ij+λjV(k)ij)-∑Ni=1(U(k)ij+λjV(k)ij)/V΢j(20)kk。λj≤λ-j:∑Ni=1xi(U(k)ij+λjV(k)ij)/V΢jx(k)i≤λ-j-λj(x(k))+∑Ni=1(U(k)ij+λjV(k)ij)/V΢j(21)A(k)ij=(U(k)ij+λjV(k)ij)/V΢j,(21):∑Ni=1xi(U(k)ij+λjV(k)ij)/V΢jx(k)i=∑Ni=1A(k)ijxi/x(k)i=∑Ni=1(t(k)i)bA(k)ijxi=∑Ni=1dijxi(22)dij=(t(k)i)bA(k)ij,(21):　　λ-j-λj(x(k))+∑Ni=1(U(k)ij+λjV(k)ij)/V΢j=　　λ-j-λj(x(k))+∑Ni=1A(k)ij=ej(23)(22)(23)∑Ni=1dijxi≤ej(24)。2.3　(5)W=∑Ni=1fw(ti)w0i(25),fw(ti)=tai,(13)ti=1/x1/bi,fw(ti)=1/xa/bi(26)a/b=β,fw(ti)=1/xβi,(25),W=∑Ni=1w0i/xβi(27),,,　　　W=∑Ni=1{[w0iβ(β+1)/2x(k)β+2i]x2i+[-w0iβ(β+2)/x(k)β+1i]xi}(28)x(k)iik。　　　　Ai=w0iβ(β+1)/2x(k)β+2iBi=-w0iβ(β+2)/x(k)β+1iW=∑Ni=1(Aix2i+Bixi),347　第3期隋允康,等:连续体结构屈曲约束的ICM方法拓扑优化　x∈EN　W=∑Ni=1(Aix2i+Bixi)※mins.t.∑Ni=1dijxi≤ej(j=1,…,J)　　1≤xi≤x-i(i=1,…,N)(29)2.4　,。,,:　μ∈EJ　Υ(μ)※maxs.t.μ≥0(30)Υ(μ)=min1≤xi≤x-i(L(x,μ)),　　　L(x,μ)=∑Ni=1(Aix2i+Bixi)+∑Ji=1μj∑Ni=1dijxi-ej(31)(31)xi,-,L(x,μ)/xi=2Aix＊i+Bi+∑Jj=1μjdij≤0(x＊i=x-i)=0(1x＊ix-i)≥0(x＊i=1)(32)Ia={i|1x＊ix-i},:2Aix＊i+Bi+∑Jj=1μjdij=0μk,x＊i/μk=-dik/2Ai(33)Υ(μ),。(31)、,Υ(μ)/μj=∑Ni=1dijx＊i-ej(34)2Υ(μ)/μjμk=∑Ni=1dijx＊i/μk(35)(33)(35),2Υ(μ)/μjμk=-∑Ni=1dijdik/2Ai(36)Υ(μ):　μ∈EJ　-Υ(μ)=12μTDμ+HTμ※mins.t.μj≥0　(j=1,…,J)(37)Hj=-∑Ni=1dijx＊i+ej+∑Ni=1dij(2Aix＊i+Bi)/2AiDjk=-∑Ni=1dijdik/2Ai,μ,(32),,,‖x(k+1)-x(k)‖/‖x(k)‖≤ε,x＊,(13)t＊,t(k+1)=t＊,,,:　　ΔW=|(W(k+1)-W(k))/W(k+1)|≤ε(38)W(k)W(k+1),ε,ε=0.001。3　1　1(a),520mm×260mm×2mm,E=68890MPa,ν=0.3,ρ=1.0×10-3kg/mm3。100N/mm,P=52000N,,,52×26,270.400kg。ζ1=0.002511,Pcr=130.572N,Pcr=100N,,51,1(b),115.756kg,1(c),100.5888N,1(d)。,100.5888N,0.5888%,115.756kg,42.78%,57.22%。348计算力学学报　第25卷　1　1Fig.1　Definitionandoptimalresultsofexample12　2Fig.2　Definitionandoptimalresultsofexample2　　2　2(a),520mm×260mm×2mm,E=68890MPa,ν=0.3,ρ=1.0×10-3kg/mm3,,P=53×300=15900N,;、,52×26,270.400kg。ζ1=0.017709,Pcr=281.573N,Pcr=200N,。47,2(b),113.512kg,200.976N。3　3(a),120mm×45mm×8mm,E=70×103MPa,ν=0.3,ρ=2.7kg×10-6/mm3,P=12500N,,,,40×15×48,0.11664kg。ζ1=2.7551,Pcr1=34438.75N,Pcr=28000N,,32,3(b);3(c),0.05167kg,3(d)。349　第3期隋允康,等:连续体结构屈曲约束的ICM方法拓扑优化3　3Fig.3　Definitionandoptimalresultsofexample34　　ICM,,,,:(1)ICM,,、、,。(2),。。(References):[1]　MANICKARAJAHD,XIEYM,STEVENGP.Anevolutionarymethodforoptimizationofplatebuck-lingresistance[J].FiniteElementsinAnalysisandDesign,1998,29:205-230.[2]　GUYX,ZHAOGZ,ZHANGHW,etal.Bucklingdesignoptimizationofcomplexbuilt-upstructureswithshapeandsizevariables[J].StructMultidiscOptim19Springer-Verlag,2000:183-191.[3]　MANICKARAJAHD,XIEYM,STEVENGP.Optimisationofcolumnsandframesagainstbuckling[J].ComputersandStructures,2000,75:45-54.[4]　LIUT,XUQN,PEIJH.Bucklinganalysisandoptimizationdesignofcompositecylindricalshells[J].JournalofShipMechanics,2000,6(4):39-50.[5]　RONGJH,XIEYM,YANGXY.Animprovedmethodforevolutionarystructuraloptimizationa-gainstbuckling[J].ComputersandStructures,2001,79:253-263.[6]　顾元宪,赵国忠,李云鹏.复合材料层合板屈曲稳定性优化设计及其灵敏度计算方法[J].复合材料学报,2002,19(4):81-85.(GUYuan-xian,ZHAOGuo-zhong,LIYun-peng.Optimumdesignandsensitivityanalysisforbucklingstabilityofcompositelaminatedplates[J].ActaMateriaeCompositaeSinica,2002,19(4):81-85.(inChinese))[7]　梁　斌,乐金朝.弹性圆柱壳的稳定性优化设计[J].机械强度,2002,24(3):463-465.(LIANGBin,YUEJin-chao.Optimumdesignofcylindricalshellonsta-bility[J].JournalofMechanicalStrength,2002,24(3):463-465.(inChinese))[8]　赵国忠,高　剑,顾元宪.基于分层设计变量的复合材料层合板优化设计及灵敏度分析[J].工程力学,2003,20(2):60-65