【步步高 通用(理)】2014届高三二轮专题突破 专题七 第2讲数形结合思想

专题七第2讲思想方法概述第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.思想方法概述本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破类型一利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1(2012·辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－12，32上的零点个数为()A．5B．6C．7D．8解析根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破所以当x＝0时，f(x)＝g(x)．当x≠0时，若0x≤12，则x3＝xcos(πx)，即x2＝cosπx.再根据函数性质画出－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．答案B本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤02，x0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．1B．2C．3D．4解析由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝x2＋4x＋2，x≤02，x0∴方程f(x)＝x⇔x0x＝2或x≤0x2＋4x＋2＝x解得x＝2或x＝－1或x＝－2，均合题意．C本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2(1)(2012·福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，ab.设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．解析由定义可知，f(x)＝2x－1x，x≤0，－x－1x，x0.作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，当0m14时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破不妨设x1x2x3，易知x20，且x2＋x3＝2×12＝1，∴x2x314.令2x－1x＝14，x0，解得x＝1－34或x＝1＋34(舍去)．∴1－34x10，∴1－316x1x2x30.答案1－316，0本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破(2)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)0的x的取值范围是___________．解析作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(－1,0)∪(0,1)本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破(1)使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是______．(2)已知函数f(x)＝|lgx|，0x≤10，－12x＋6，x10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)解析(1)在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，由图可知，x的取值范围是(－1,0)．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破(2)作出f(x)的大致图象．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设abc，则－lga＝lgb＝－12c＋6.∴lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10c12，∴abc∈(10,12)．答案(1)(－1,0)(2)C本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破类型三利用数形结合思想求最值例3若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A．2－1B．1C．2D．2解析设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x,1－y)，本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破∴|a＋b－c|＝1－x2＋1－y2＝x－12＋y－12，①如图c＝(x，y)对应点在上，而①式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.答案B本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义．②要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化．③要正确确定参数的取值范围．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破若实数x，y满足x－y＋1≤0，x0，y≤2，则yx的最小值是________．解析画可行域如图所示．又yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由图知，过点A的直线OA的斜率最小．联立x－y＋1＝0，y＝2得A(1,2)，∴kOA＝2－01－0＝2.∴yx的最小值为2.2本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲热点分类突破3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度．5．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等．本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲名师押题我来做1．已知0a1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为()A．1B．2C．3D．4解析作出函数y＝a|x|，y＝|logax|的图象，由图象可知，两图象只有两个交点，故方程有2个实根．B本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲2．设a＝sin5π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()A．abcB．acbC．bcaD．bac解析a＝sin5π7＝sinπ－2π7＝sin2π7，又π42π7π2，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos2π7＝OA，sin2π7＝AB，tan2π7＝MN，∴cos2π7sin2π7tan2π7，即bac.D名师押题我来做本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲3．当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A．0，22B．22，1C．(1，2)D．(2，2)解析利用指数函数和对数函数的性质及图象求解．∵0x≤12，∴14x≤2，∴logax4x1，∴0a1，排除答案C，D；取a＝12，x＝12，则有＝2，＝1，显然4xlogax不成立，排除答案A；故选B.B21421log21名师押题我来做本讲栏目开关思想方法概述热点分类突破名师押题我来做专题七第2讲4．若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.解析令y1＝9－x2，y2＝k(x＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x2≤k(x＋2)－2的解集为[a，b]且b－a＝2.结合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k＝22＋21＋2＝2.2名师押题我来