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9.6双曲线第九章9.6双曲线-2-1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质.2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的简单应用,了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.第九章9.6双曲线-3-1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.第九章9.6双曲线-4-2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)图形第九章9.6双曲线-5-标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±𝑏𝑎xy=±𝑎𝑏x离心率e=𝑐𝑎,e∈(1,+∞),其中c=𝑎2+𝑏2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)第九章9.6双曲线-6-答案解析解析关闭∵c2=16+9=25,∴c=5,2c=10.答案解析关闭A基础自测1.双曲线𝑥216−𝑦29=1的焦距为()A.10B.7C.27D.5第九章9.6双曲线-7-答案解析解析关闭由渐近线方程可知𝑏𝑎=32,所以a=23b=23×3=2.答案解析关闭C2.设双曲线𝑥2𝑎2−𝑦29=1(a0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.1第九章9.6双曲线-8-答案解析解析关闭由离心率为3,可知c=3a,∴b=2a.∴渐近线方程为y=±𝑏𝑎x=±2x,故选B.答案解析关闭B3.(2013北京高考)若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±2xC.y=±12xD.y=±22x第九章9.6双曲线-9-答案解析解析关闭∵焦点坐标为(-3,0),∴a0且a+2=3,∴a=1.∴双曲线方程为x2-𝑦22=1,渐近线方程为y=±2x.答案解析关闭y=±2x4.已知双曲线𝑥2𝑎−𝑦22=1的一个焦点坐标为(-3,0),则其渐近线方程为.第九章9.6双曲线-10-考点一考点二考点三误区警示考点一双曲线的定义及应用【例1】已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=()A.14B.35C.34D.45答案解析解析关闭∵a=b=2,∴c=2.由|𝑃𝐹1|-|P𝐹2|=22,|𝑃𝐹1|=2|P𝐹2|,得|PF1|=42,|PF2|=22,由余弦定理得cos∠F1PF2=|𝑃𝐹1|2+|P𝐹2|2-|𝐹1𝐹2|22|𝑃𝐹1|·|P𝐹2|=34.故选C.答案解析关闭C第九章9.6双曲线-11-考点一考点二考点三误区警示方法提炼将双曲线的定义理解到位是解题的关键.应注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是双曲线的两支,还是双曲线的一支.若是一支,是哪一支,以确保解答的正确性.第九章9.6双曲线-12-考点一考点二考点三误区警示举一反三1设F1,F2是双曲线x2-𝑦224=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于()A.42B.83C.24D.48答案解析解析关闭由|𝑃𝐹1|-|P𝐹2|=2,3|𝑃𝐹1|=4|P𝐹2|,可解得|𝑃𝐹1|=8,|𝑃𝐹2|=6.又由|F1F2|=10可得△PF1F2是直角三角形,则𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12|PF1|×|PF2|=24.答案解析关闭C第九章9.6双曲线-13-考点一考点二考点三误区警示考点二求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线𝑥29−𝑦216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23);(2)与双曲线𝑥216−𝑦24=1有公共焦点,且过点(32,2).答案答案关闭解:(1)设所求双曲线方程为𝑥29−𝑦216=λ(λ≠0),将点(-3,23)代入得λ=14,∴所求双曲线方程为𝑥29−𝑦216=14,即𝑥294−𝑦24=1.(2)设双曲线方程为𝑥216-𝑘−𝑦24+𝑘=1,将点(32,2)代入得k=4(k=-14舍去).∴所求双曲线方程为𝑥212−𝑦28=1.第九章9.6双曲线-14-考点一考点二考点三误区警示方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线的方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可.第九章9.6双曲线-15-考点一考点二考点三误区警示举一反三2已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)和椭圆𝑥216+𝑦29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求双曲线的方程.答案答案关闭解:由题意知双曲线的焦点为(-7,0),(7,0),即c=7,又因为双曲线的离心率为e=𝑐𝑎=274,所以a=2,故b2=3,所以双曲线的方程为𝑥24−𝑦23=1.第九章9.6双曲线-16-考点一考点二考点三误区警示考点三双曲线的几何性质【例3】(2013广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则C的方程是()A.𝑥24−𝑦25=1B.𝑥24−𝑦25=1C.𝑥22−𝑦25=1D.𝑥22−𝑦25=1答案解析解析关闭由曲线C的右焦点为F(3,0),知c=3.由离心率e=32,知𝑐𝑎=32,则a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线C的方程为𝑥24−𝑦25=1.答案解析关闭B第九章9.6双曲线-17-考点一考点二考点三误区警示方法提炼在研究双曲线的性质时,半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=𝑐𝑎是一个比值,故只需根据条件得到关于a,b,c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形求e,并且需注意e1.第九章9.6双曲线-18-考点一考点二考点三误区警示举一反三3已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方程为()A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12xD.y=±x答案解析解析又又又又又又又又关闭∵e=𝑐𝑎=52,∴e2=𝑐2𝑎2=𝑎2+𝑏2𝑎2=54.∴a2=4b2,𝑏𝑎=12.∴渐近线方程为y=±𝑏𝑎x=±12x.答案解析关闭C第九章9.6双曲线-19-考点一考点二考点三误区警示误区警示莫忽略对轨迹中x范围的界定【典例】如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ||PR|,求|𝑃𝑅||𝑃𝑄|的取值范围.第九章9.6双曲线-20-考点一考点二考点三误区警示解:(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠-1.此时,MA的斜率为𝑦𝑥+1,MB的斜率为𝑦𝑥-1.由题意,有𝑦𝑥+1·𝑦𝑥-1=4,化简可得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1).第九章9.6双曲线-21-考点一考点二考点三误区警示(2)由𝑦=𝑥+𝑚,4𝑥2-𝑦2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.(*)对于方程(*),其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+480,而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.结合题设(m0)可知,m0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程(*)的两根.因为|PQ||PR|,所以|xQ||xR|,xQ=𝑚-2𝑚2+33,xR=𝑚+2𝑚2+33.所以|𝑃𝑅||𝑃𝑄|=𝑥𝑅𝑥𝑄=21+3𝑚2+121+3𝑚2-1=1+221+3𝑚2-1.第九章9.6双曲线-22-考点一考点二考点三误区警示此时1+3𝑚21,且1+3𝑚2≠2,所以11+221+3𝑚2-13,且1+221+3𝑚2-1≠53,所以1|𝑃𝑅||𝑃𝑄|=𝑥𝑅𝑥𝑄3,且|𝑃𝑅||𝑃𝑄|=𝑥𝑅𝑥𝑄≠53.综上所述,|𝑃𝑅||𝑃𝑄|的取值范围是1,53∪53,3.第九章9.6双曲线-23-考点一考点二考点三误区警示反思提升(1)区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c大小关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.(2)双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0,1).(3)双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的渐近线方程是y=±𝑏𝑎x,𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0)的渐近线方程是y=±𝑎𝑏x.(4)若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.(5)直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.第九章9.6双曲线-24-12341.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.3D.2答案解析解析关闭由题意可知椭圆的长轴长2a1是双曲线实轴长2a2的2倍,即a1=2a2,而椭圆与双曲线有相同的焦点.故离心率之比为𝑐𝑎2𝑐𝑎1=𝑎1𝑎2=2.答案解析关闭B第九章9.6双曲线-25-12342.设P为直线y=𝑏3𝑎x与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.答案解析解析关闭因为F1为左焦点,PF1垂直于x轴,所以P点坐标为-𝑐,-𝑏𝑐3𝑎.又因为P点为直线与双曲线的交点,所以𝑐2𝑎2-𝑏2𝑐29𝑎2𝑏2=1,即89e2=1,所以e=324.答案解析关闭324第九章9.6双曲线-26-12343.(2013湖南高考)设F1,F2是双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为.答案解析解析关闭不妨设|PF1||PF2|,由|𝑃𝐹1|+|P𝐹2|=6a,|𝑃𝐹1|-|P𝐹2|=2𝑎可得|𝑃𝐹1|=4a,|𝑃𝐹2|=2a.∵2a2c,∴∠PF1F2=30°,∴cos30°=(2𝑐)2+(4a)2-(2a)22×2𝑐×4𝑎,整理得,c2+3a2-23ac=0,即e2-23e+3=0,∴e=3.答案解析关闭3第九章9.6双曲线-27-12344.已知双曲线x2-𝑦22=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?答案答案关闭解:设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P的