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第24课时解直角三角形的应用第24课时┃考点聚焦考点聚焦考点解直角三角形的应用常用知识考点聚焦归类探究回归教材仰角和俯角仰角俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度和坡角坡度坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面________h∶l越陡第24课时┃考点聚焦方向角(或方位角)定义指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角图例考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．计算某些建筑物的高度(或宽度)；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究一、利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题归类探究第24课时┃归类探究例1．[2013•徐州]如图24－1所示，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度(结果精确到0.1m)．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图24－1考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃归类探究解析构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段．解：过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DEBC，设塔高AB＝xm，则AE＝(x－10)m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则DE＝3(x－10)米，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，则BC＝AB＝x，由题意得，3(x－10)＝x，解得：x＝15＋53≈23.7.即AB≈23.7米．答：塔的高度为23.7米．考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃归类探究方法点析在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：①不同地点看同一点(如图24－2)；②同一地点看不同点(如图24－3)；图24－2图24－3③利用反射构造相似(如图24－4)．图24－4考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．利用直角三角形解决方位角问题；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究二、利用直角三角形解决航海问题第24课时┃归类探究例2．[2013•广州]如图24－5所示，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．(1)求船P到海岸线MN的距离(精确到0.1海里)；考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃归类探究解析△ABP不是直角三角形，可过点P作PD⊥BC于点D，构造Rt△APD和Rt△PBD.然后分别解Rt△APD和Rt△PBD，即可求得答案．(2)若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．图24－5考点聚焦归类探究回归教材第2课时┃归类探究解析(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D，由题意，得∠PAB＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP＝30，在Rt△ADP中，sin∠PAD＝PDAP，得PD＝AP·sin∠PAD，即PD＝30·sin32°≈15.9.答：船P到海岸线MN的距离约为15.9海里．考点聚焦归类探究回归教材第2课时┃归类探究解析(2)在Rt△BDP中，sin∠PBD＝PDBP，PD＝BP·sin∠PBD，即15.9≈PD·sin55°，PD≈19.4，因为302017.915，所以船B先到达P处．答：船B先到达船P处．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．利用直角三角形解决方位角问题；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究三、利用直角三角形解决坡度问题第2课时┃归类探究例3．[2013•安徽]如图24－6所示，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)图24－6考点聚焦归类探究回归教材第2课时┃归类探究解析过点A作AF⊥CE于点F，在Rt△ABF中，AB＝20，运用三角函数关系可求AF，同样在Rt△AEF中，也可求AE.解：过点A作AF⊥CE于点F，在Rt△ABF中，AB＝20，∵sinα＝AFAB，∴AF＝20×32＝103.在Rt△AEF中，∵sinβ＝AFAE，∴AE＝10322＝106(m).考点聚焦归类探究回归教材教材母题测气球高度第24课时┃回归教材为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°.若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢(精确到0.1m)?回归教材考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃回归教材解析如图24－7，点C表示气球的位置，点A、B表示小明两次观测气球的位置，点A、B、D在一条直线上.CD⊥AD，CD的长与小明的眼睛离地面的高度的和即为所求的气球的高度．要计算CD，可以利用Rt△ACD及Rt△BCD，先找出BD、CD与已知量的数量关系，再计算CD.图24－7考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃回归教材解析如图24－7所示，由题意知，∠CAD＝27°，∠CBD＝40°，AB＝50m，点A、B、D在一条直线上，CD⊥AD.设BD＝xm，CD＝hm，在Rt△ACD中，tan27°＝h50＋x，h＝(50＋x)·tan27°.①在Rt△BCD中，tan40°＝hx，h＝xtan40°.②根据①和②，得(50＋x)·tan27°＝xtan40°.考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃回归教材解析所以x＝50tan27°tan40°－tan27°，h＝50tan27°tan40°－tan27°×tan40°.利用计算器计算，得h≈64.9(m)．64．9＋1.6＝66.5(m)．答：气球的高度约为66.5m.点析通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃回归教材中考预测天塔是天津市的标志性的建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图24－8所示，他们在点A处测得天塔的最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得天塔的高点C的仰角为54°，AB＝112m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73，结果保留整数)图24－8考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃回归教材解析先在Rt△ACD中推导AD与CD的关系，并用CD表示BD的长；再在Rt△BCD中，求∠BCD，利用三角函数及CD表示BD的长；根据BD的长度相等列方程求解．解析如图，根据题意，有∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112.考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃回归教材解析∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，有AD＝CD.又AD＝AB＋BD，∴BD＝AD－AB＝CD－112.∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝BDCD，∠BCD＝90°－∠CBD＝36°.∴tan36°＝BDCD，得BD＝CD·tan36°.于是，CD·tan36°＝CD－112，∴CD＝1121－tan36°≈1121－0.73≈415.即天塔的高度CD约为415m.