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《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生第二章数学准备2.1范数设X是复数域C上的线性空间，若在X上定义实值函数():fx→XR，满足：（1）()0,fxx≥∀∈X（正性）（2）()(),,faxafxxa=∀∈∈XR（齐次性）（3）()()(),,fxyfxfyxy+≤+∀∈X（三角不等式）则称()fx为x的半范数。若进而满足：（4）()0fx=iff0x=则称()fx为x的范数，记为x。而X按此范数i成为线性赋范空间，记为(),Xi。例1：在nE中，令：221niixx==∑（欧几里得范数）11niixx==∑1maxiinxx∞≤≤=则这些函数都是x的范数。（有时称之为向量范数）•在同一空间上可能定义多种范数。例2：令[],pabL为区间[],ab上()1p≥方（勒贝格）可积函数全体所构成的线性空间，对于[],pgab∈L，令：()()1bppafggtdt⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫则()fg是[],pabL上的半范数。但当局限()fg于区间[],ab上的连续函数全体所构成的线性空间[],abC上时，它又成为范数。对于()[],xtab∈C，定义()22baxxtdt=∫()1baxxtdt=∫()supatbxxt∞≤≤=《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生用[],nabC表示由元为[],ab上的连续函数的n维向量全体所构成的线性空间。对于()[],nxtab∈C，定义()()22221nbbiaaixxtdtxtdt===∑∫∫()11nbiaixxtdt==∑∫()supmaxiiatbxxt∞≤≤=上述范数有时称之为信号范数。•同一实值函数在某空间成为范数，而在另一空间上可能不然。2.2线性算子空间与算子范数设,XY是数域F上的两个线性空间，D是X的线性子空间，P是D到Y中的一映射：,xDPxY∀∈∈。如果对12,xxD∀∈，,Fαβ∀∈，有：()1212PxxPxPxαβαβ+=+，则称P是线性算子，称D为P的定义域，{},PDyyPxxD==∈为P的值域。取值为实/复数的线性算子称为实/复数线性泛函；例1：1、nR中的线性变换A，yAx=是一个线性算子nR→nR；2、k次微分算子多项式dPdt⎛⎞⎜⎟⎝⎠是[][],,kCabCab→的线性算子；3、Laplace变换是一线性算子；•有界算子：将D中每个有界集映射成一个有界集的算子。•线性算子空间：令(),LXX是X到X的所有线性算子的集合。如果定义：算子加法：()(),,,,ABxAxBxxAB+=+∀∈∀∈XLXX算子数乘：()(),,,,AxAxxAααα=∀∈∀∈∀∈FXLXX则(),LXX为一线性空间。•算子乘积：()()(),,,,ABxABxxXABLXX=∀∈∀∈•算子范数：令X是F上的一线性赋范空间，i为其范数，A是XX→的一线性算子，定义：《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生0sup:xAxAAx+≠=→R若A是有界算子，则称A为线性算子A的（由范数i）导出范数或算子范数。（一般也可：()():,,abAXY→iior()(),,abXX→ii）1supxAAx≥=•；•设,AB为任意有界线性算子，则,FxXα∀∈∀∈，且：AxAx≤⋅AAαα=⋅ABAB+≤+ABAB≤⋅例2：对于()1Tnnxxx=∈R，考虑范数：11niixx==∑11,1nppipixxp=⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦∑maxiixx∞=设{}nnijAa×=∈R，则A是nn→RR上的一线性映射。1、视A为()()11,,nnRR→ii的算子，111nnijjijAxax===∑∑11nnijjijax==≤⋅∑∑11nnijjjiax==⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑11maxnnijjjijax==⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦∑∑∴111011supmaxnijijxiAxAaxΔ≠==≤∑（列和最大者）设11maxnnijikjiiaa===∑∑。取()0,0,1Tkkxe==，则《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生111nkikiAxAea===∑∴1110111supnkikxikAxAeaxe≠=≥=∑因此，11maxnijijiAa==∑。结论：若()()1:,,nniARR→ii，则111011supmaxnijijxiAxAax≠===∑2、视A为()(),,nnRR∞∞→ii的算子，1maxnijjijAxax∞==∑1maxnijjijax=≤⋅∑1maxmaxnjijjijxa=≤⋅∑1maxnijijax∞==⋅∑∴101supmaxnijixjAxAax∞Δ∞≠=∞=≤∑（行和最大者）设11maxnnijkjijiaa===∑∑。取()12,,Tnzzzz=，其中()010kjkjikjsignaifazifa≠⎧=⎨=⎩则：0supxAxAzxz∞∞∞≠∞∞≥1maxnijjijaz==∑1nkjjjaz=≥∑1nkjia==∑1maxnijija==∑《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生∴101supmaxnijixjAxAax∞∞≠=∞==∑结论：若()():,,nnARR∞∞→ii，则101supmaxnijixjAxAax∞∞≠=∞==∑3视A为()()22,,nn→RRii的算子122TTAxxAAx⎡⎤=⎣⎦()1122TTAAxxλ⎡⎤≤⎣⎦()2Axσ=⋅其中()TAAλ为TAA的最大特征值；()()12TAAAσλ=，称为A的最大奇异值。∴()2202supxAxAAxσ∞≠≤设z的对应于特征值λ的TAA的特征向量，即：TAAzzλ=则()112222TTTAzzAAzAAzλ⎡⎤==⎣⎦∴()()12TAAAAσλ∞==因此()()212202supTxAxAAAAxσλ∞≠===4视A为()()22,,nnCC→ii的算子()()22max02supxAxAAAAxσλ∞∗≠=例3：SISO系统假设()[),0,xtt∈∞是连续函数。对于()[)10,xtL∈∞()10xxtdt∞=∫()[)20,xtL∈∞()12220xxtdt∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()[)0,xtL∞∈∞()0suptxxt∞≥=考虑卷积算子：()()()():HuHuhuHsUsHsut→=∗=⋅=⋅即()()()()0,0τττ=−≥∫tHuthtudt假设()()110..∞=∞∈∫hhtdtiehL()()0sup..∞∞≥=∞∈thhtiehL1视H为[)()[)()0,,0,,LL∞∞∞∞∞→∞ii的算子*Huhu∞∞=()()00suptthtudτττ≥=−∫()()00suptthtudτττ≥≤−∫()()000supsupttthtdutττ≥≥≤−⋅∫()0htdtu∞∞=⋅∫∴()1100supuHuHhtdthu∞∞∞≠∞≤=∫取()()[]sign,0,τττ=−∈⎡⎤⎣⎦uhtt则()()00supttHuhtudτττ∞≥=−∫()00suptthtdt≥=∫1h=因此()1100sup∞∞∞≠∞==∫uHuHhtdthu2视H为[)()[)()22220,,0,,LL∞→∞ii的算子令*yHuhu==，[]()()YLyHsUs==⋅《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生由Parseval定理，有()2220tyytdt=∫()()12YjYjdωωωπ+∞−∞=⋅∫()()()()12UjHjHjUjdωωωωωπ+∞−∞=⋅⋅⋅∫()()()21sup2HjUjUjdωωωωωπ+∞−∞≤⋅⋅∫()222supHjuωω≤⋅∴()2202supsupuHuHHjuωω∞≠≤假设：1.()()supoHjHjωωω=，oω≠±∞2.()Hs为实有理函数令()20πωωεωε⎧±≤⎪=⎨⎪⎩oifujelse，，则()22212uujdωωπ+∞−∞=∫11222ooooddωεωεωεωεππωωπεε−++−−−⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦∫∫()()()()22122122ooooyHjHjdHjHjdωεωεωεωεπωωωπεπωωωπε−+−−+−=−⋅−+⋅∫∫()()()()()()()220222122122supsupooooooooHjHjdHjHjdHjHjHjuωεωεωεωεωωπωωωπεπωωωπεωωω−+−−+−≈−⋅−+⋅===∫∫i若令0ε→，则有()2202supsupωω∞≠=uHuHHju《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生物理意义：•能量增益•幅频特性的最大值例4：考虑多输入多输出系统()[)()12222010,,∞=⎡⎤∈∞=⎢⎥⎣⎦∑∫nniixtLxxtdt()[)()00,,maxsup∞∞≥∈∞=niitxtLxxt考虑卷积算子：()()()()()()101,ntijjijnHuHuHuthtudHuτττ=⎛⎞⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∫1视H为[)()[)()0,,0,,nnLL∞∞∞∞∞•→∞•的算子()()001maxsupτττ∞≥==−∑∫ntijjitjHuhtud()()001maxsupntijjitjhtudτττ≥=≤−∑∫()()0001maxsupsupntjijittjuhtdττττ≥≤≤=⎡⎤⎛⎞≤⋅−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∑∫()()0001maxsupsupntjijittjuthtdτττ≥≤≤=⎡⎤≤⋅−⎢⎥⎣⎦∑∫()()001maxmaxsupnijjijtjhtdtut∞≥=≤⋅∑∫()01maxnijijhtdtu∞∞=⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦∑∫因此10supuHuHu∞∞≠∞=()01max∞=⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦∑∫nijijhtdt设()()0011maxnnijkjijjhtdthtdτ∞∞==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑∫∫令()()()sign,0,1,2,,τττ=−≤≤=jkjuhttjn则()()001maxsupntijjitjHuhtudτττ∞≥==−∑∫《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()001supntkjjtjhtudτττ≥=≥−∑∫()001supntkjtjhtdττ≥==−∑∫()01ntkjjhtdt==∑∫()01maxnijijhtdtu∞∞=⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦∑∫得10supuHuHu∞∞≠∞=()01maxnijijhtdt∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∫2视H为[)()[)()22220,,0,,nnLL∞•→∞•的算子令yHu=则2222Huy=()()*12YjYjdωωωπ+∞−∞=∫()()()()**12UjHjHjUjdωωωωωπ+∞−∞=∫()()()()**12HjHjUjUjdλωωωωωπ+∞−∞⎡⎤≤⎣⎦∫()()()()**1sup2HjHjUjUjdωλωωωωωπ+∞−∞⎡⎤⎡⎤≤⎣⎦⎣⎦∫()222supHjuωσω=⋅⎡⎤⎣⎦可得()2202supsupuHuHHjuωσω∞≠=⎡⎤⎣⎦()()1*2supHjHjωλωω⎡⎤=⎣⎦上述导出范数有时也称之为系统范数。《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生2.3几种函数空间2.3.1时域函数空间（1）()2,−∞∞L：()()()()(){}*2,:,nxtxtxtxtdt+∞−∞−∞∞=→∞∫LRC•范数()()12*2xxtxtdt+∞−∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫[)()20,::+∞→LRCnxt(]()2,0::−−∞→LRCnxt()(][)222,,00,−∞+∞=−∞⊕+∞LLL（2）()2,:×LRCmn()()()()(){}*2,:,tracemnmnXtXtXtXtdt+∞××−∞⎡⎤=→∞⎣⎦∫LRCRC•范数()()12*2traceXXtXt⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦2.3.2频域函数空间（1）()2::nxs→LCC，且在jω上平方可积•范数()()12*212xxjxjdωωωπ+∞−∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫{}222:,∈RLRLLxxx为实有理函数向量{}=xx为虚轴上无极点，严格真的实有理函数向量2RL为2L的一个稠密子空间（2）()2