B-S定价模型

1第六章Black-Scholes期权定价模型我们在第五章用二叉树定价方法介绍了动态无套利均衡分析方法并引入了风险中性假设。本章将通过介绍Black-Scholes期权定价模型来深化这些概念。在该模型中我们假设标的资产遵循几何布朗随机过程（这是一个特殊的马尔可夫过程）。因此在讨论之前，我们必须作一些有关概念和数学知识的准备。一、预备知识（一）正态和对数正态分布1、均值为μ，方差为σ2的正态分布随机变量x的密度函数为：)2)(exp(21)(22xxf⑴如果正态变量的均值为0，方差为1，则称为标准正态随机变量，它的密度于分布函数分别为n(x)和N(x)表示，这里2221)(xexndtexNxt2221)(2、如果x是均值为x，方差为2x的正态分布变量，那么称xeZ是对数正态分布的，其中)2exp(2xxZ且]1))[exp(2exp(222xxxZ。证明：由于x～),(2xxN，则x的密度函数为)2)(exp(21)(22xxxxxf又因为xeZ，则Z的密度函数为)2)(lnexp(21])([))(()(2211xxxZZZgZgfZg。Z的截断均值，定义为):(aZZE，其值为：)ln()2exp()(1)2exp()22)]([exp(21)2)(exp(2)()():(2ln222ln24222ln22xxxxxaxxxxxxaxxxxxxxaxxxxxaaNdxxndxxdxxeeZdZZZgaZZE当0a时，截断均值成为普通的均值，则对数正态变量Z的均值即为：2)2exp(2xxZ（2）其中)()(xNxn和分别表示为标准正态分布的密度和分布函数。Z的方差为：]1))[exp(2exp()244)]2([exp(21)()(222242222022xxxZxxxxxxxxZZdxxeZdZZgZ（3）（二）布朗运动1、带漂移的布朗运动是具有下列性质的随机过程}0),({ttx：⑴任何增量)()(sXstX都是均值为t，方差为t2的正态分布变量，2和是确定的参数。⑵对任何nttt21，增量)()(),()(112nntXtXtXtX是相互独立随机变量。⑶0)0(X且样本路径)(tX是连续的。注意)()(sXstX独立与随机路径的过去的历史，即信息))((sX对于)()(sXstX的概率分布没有贡献，这正是布朗运动的马尔可夫特性。对特殊情况102＝和，对应的布朗运动称为标准布朗运动（或标准Wiener过程），标准Wiener过程}0:)({ttZ的概率分布是：dsttsttZZtZtZZtZZtZZZ))(2exp()(21)))()(Pr(())(|)(Pr(00200000进一步地，对321ttt，因为)()()()(2312tZtZtZtZ和是相互独立的随机变量（零均值及方差为2312tttt和），有：)]()([)]()([)()(122313tZtZtZtZtZtZ。2、设)(tX是漂移参数0和方差参数为2的布朗运动，由)0()()(tetYtX⑷定义的随机过程称为几何布朗运动。由上述布朗运动的性质⑴可知),(~)()(2ttNsXstX明显地，Y的取值是非负的，从方程⑵可以导出Y(t)的均值为：)2exp())0(|)((200ttyyYtYE同样地，从方程⑶可以导出Y(t)的方差为：]1))[exp(2exp())0(|)((22200tttyyYtYVar我们称Y(t)为对数正态分布，Y(t)的概率密度函数是：30,)2)(lnexp(21)(22yttytyyg进一步地，对任何nttt21，相继的比)(/)(,),(/)(112nntYtYtYtY是独立随机变量，即在非重叠时间区间上的变动比是独立的。（三）Ito引理1、用Z(t)表示无漂移的标准布朗运动，即102＝和。设ΔZ表示时间改变Δt后Z(t)的改变量，由布朗运动的性质⑴，)()()()(ttZttZtZ，其中是标准正态随机变量，当0t时，上面的关系可表达为微分形式：dttdZ)(⑸一般的带漂移的布朗运动(Wiener过程))(tX可以写成下面的随机微分形式：)()(tdZdttdX⑹其中是过程的漂移率，2为方差。2、【Ito引理】设),(tXf是连续的，有连续偏导数的非随机函数，)(tX是由下式定义的随机过程：)(),(),()(tdZtXbdttXatdX其中)(tdZ是方程⑸定义的标准Wiener过程，那么随机过程),(tXff有下面形式的随机微分：)(),()),(21),((),(21)(222222tdZXftXbdtXftXbXftXatfdtXftXbtdXXfdttfdf⑺证明：两个变量的函数),(tXff的泰勒展开式为：21212222222XXfXtXtfttfXXfttff而)(),(),()(tdZtXbdttXatdX考虑在一段很短时间内的X的改变量，即将上式写成差分形式：tdbtaX由此可以推出：)(o222ttbX这是因为)1,0(~N有12E则22222)()()(EEttVar所以当00Xt和时，ttVar)(2是的高阶小量。这意味着此时t2将不再是随机变量，即dtt2。将这个结果代入上面的泰勒展开式，略去二阶以上的高阶小量，即得：4),(21)(222dtXftXbtdXXfdttfdf将)(),(),()(tdZtXbdttXatdX代入，即有)(),()),(21),((222tdZXftXbdtXftXbXftXatfdf如果f只是X一个变量的函数)(Xff，则同样的导出Ito引理的结果是：)(),()),(21),((222tdZXftXbdtXftXbXftXadf（四）几何布朗过程的微分形式考虑方程⑷定义的几何布朗运动，其中)(tX的微分由方程⑹定义，取方程⑺中的)()(tXeXfy，),(,),(tXbtXa，利用Ito引理，y的随机微分形式为：dZyydtdy)2(2故dZdtydy)2(2⑻（其中yeXftX)(,yeXftX)(22）y的漂移率和波动率分别是22与。（五）资产价格动力学随机模型假设)(tS表示t时刻资产的价格，例如一年365天能观察到资产价格如下：)365(~),364(~),1(~,)0(SSSS除了当前时刻t＝0之外，后面的资产价格都加上了～，因为他们都是随机变量。每天的收益率可以计算为)364(~)365(~,)363(~)364(~)1(~)2(~,)0()1(~SSSSSSSS；于是每天的收益率可以表示为：)1(~)(~365~1tStSRt，那么以连续计息方式的连续复利为：)1(~)(~log)365~1log(365tStSRrtt。这里tR~实际上是“按日计息”的日利率，而年利率R~为：)365~1()365~1)(365~1()0(~)365(~~136521RRRSSR连续计息的年利率r为：)365~1log()365~1log()365~1log()~1log(36521RRRRr资产价格动力学的一般假设是资产价格的对数))(log(tS服从Wiener过程，即资产价格)(tS遵循几何布朗运动，该假设隐含下面两点：（1）所有的rt都是独立同分布的。（2）资产价格的变化是连续的。5和公式⑻的形式相同，我们假设资产价格动态为dZdtSdS*这里*是连续计算收益的资产在单位时间内收益的预期收益率，是价格过程的波动率，即连续计算收益的资产在单位时间内收益的标准差。定义SGln，由Ito引理得：dZdtdtSdSdtSGSdSSGdttGdG)2*(22222222（其中0tG,SSG1,2221SSG）故SGln是漂移率为2*2（是连续计算收益的资产在单位时间内收益的自然对数的预期收益率），波动率为的布朗过程，换句话说，根据布朗过程的性质，用TtSS和分别表示服从对数正态的当前时刻t和后来时刻T的资产价格，那么tTtTSSSS~loglog~log是均值为))(2*(2tT（即)(tT），方差为)(2tT的正态分布（见【注记】⑴），根据方程⑵和⑶同样可以导出tTSS/的期望和方差分别为：)*(2)](2)(exp[)|~(tTttTetTtTSSSE⑼]1[)|~()()*(22tTtTttTeeSSSVar⑽（六）鞅鞅和无套利原理紧密相关，如果资产价格过程有一个等价的鞅测度，那么无套利假设成立。下面给出鞅的简单定义。设},2,1,0,{nXn是参数离散的实值随机过程，若下面二式成立则称}{nX为鞅：(1))||(nXE(2)nnnXXXXE),|(01例如，设nX表示赌了n盘后赌徒拥有的赌资，鞅的性质表明赌徒再赌n＋1盘后的期望赌资应等于nX，结果与n盘以前的输赢无关。二、Black-Scholes期权定价模型20世纪70年代初，衍生证券的革命在股票交易市场的研究群体中掀起。1973年，芝加哥期权交易所开始从事期权的交易。同一年，BlackandScholes（1973）和Merton（1973）发表了6关于期权定价的奠基性的文章，Black和Merton也因此被授予1997年的诺贝尔经济学奖。Black-Scholes期权定价模型对金融市场作了一系列假设，主要有：⑴市场的无摩擦性，包括：①无税，无交易成本；②所有的资产可以无限细分；③没有卖空限制。⑵从时刻t＝0到t＝T，都可以以一相同的不变的利率借贷，利率按连续复利r计算。⑶期权是欧式的，即期权只能在到期日执行。⑷从时刻t＝0到t＝T股票不分红。⑸资产价格的变化服从上述的资产价格动力学模型，即遵循带漂移的几何布朗运动的规律：dZdtSdS*包括：①资产价格是连续变化的；②在整个期权生命期内，资产的预期收益和收益方差保持不变；③任何时间段的资产收益和其他时间段的收益互相独立；④任何时间段资产的复利收益率服从正态分布，即))()(log(12tStS～))(),((12212ttttN。Black-Scholes期权定价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析技术。在上述假设条件下，采取一种动态交易策略，来复制欧式买权到期末的现金流。即用Sf份标的物股票的多头(即买入)和无风险证券的空头(即卖出)来复制一份期权，其中股票的价格为S，期权的价格为),(tSff，是股票价格S和时间t的函数，无风险证券的价值为L，即动态的保持：LSSff即SSffL经过一段微小的时间dt，则有dSSfdfdL⑾因为f和L都是随机过程，我们应用Ito引理来计算它的随机微分：dtSfSdSSfdttfdf22222代入⑾式，有dtSfStfdL)2(2222上式的右边，随机项Z不再出现，这意味着一份期权的空头和⊿份股票的多头能实现风险的完全对冲，而⊿的大小是动态调整的。所以，右边的二者组合和与之等值的无风险证券是完全等价的，即组