小学六年级奥数-第五章-单位分数

第五章单位分数知识要点单位分数问题就是把一个分数写成几个分子是“1”的分数相加或相减的形式。1.主要形式1a＝1()＋1()；1a＝1()－1().ba＝1()＋1()；ba＝1()－1()；1a＝1()＋1()＋1()＋…＋1()；ba＝1()＋1()＋1()＋…＋1()。2.一般方法一个完全平方数的约数个数共有奇数个。62的约数有6，1和36，2和18，3和12，4和9。6称为自补因子，后面的1和36等都称为互补因子。设一完全平方数n2的因数有t0，t1与t1／，t2与t2／，…，tn与tn／(其中tn与tn／为互补因子)，则(1)1n＝11n＋1(1)nn(2)1(1)nn＝1n－11n(3)1A＝1212()aaAaa＝12121211()()AAaaaaaa＝(a1，a2为A的任意两个约数)典例巧解例1在等式16＝1()＋1()的括号里填入适当的自然数，使等式成立(填出全部结果)。点拨根据1A＝1212()aaAaa＝12121211()()AAaaaaaa，我们要找到6的所有约数，任意找出两个。若a1≠a2，等号右边的分母不相同；若a1＝a2，等号右边的分母相同。如果两次取的四个约数成比例，那么所得的结果相同，否则得到的结果不同。例如取1和2与3和6所得的结果一样。解从6的所有约数中任取两个约数：(1)1和2，3和6；(2)1和3，2和6；(3)1和6；(4)2和3；(5)1和1，2和2，3和3，6和6。则有下列等式成立：(1)16＝126(12)＝1166(12)(12)12＝118＋19；(2)16＝136(13)＝1166(13)(13)13＝124＋18；(3)16＝166(16)＝1166(16)(16)16＝142＋17；(4)16＝236(23)＝1166(23)(23)23＝115＋110；(5)16＝116(11)＝1166(11)(11)11＝112＋112。例2求136的表达式1a＋1b，其中a，b为自然数，并且谁也不是谁的约数。点拨若a，b谁也不是谁的约数，则从36的约数1，2，3，4，6，9，12，18，36中取出两个约数a1，a2，则a1和a2谁也不是谁的约数。解任取两个约数：(1)2，3；(2)2，9；(3)3，4，；(4)4，9依次所得结果为：(1)136＝2336(23)＝113636(23)(23)23＝190＋160；(2)136＝2936(29)＝113636(29)(29)29＝1198＋144；(3)136＝3436(34)＝113636(34)(34)34＝184＋163；(4)136＝4936(49)＝113636(49)(49)49＝1117＋152。例3把524写成1a＋1b的形式。点拨我们依然要在24的约数1，2，3，4，6，8，12，24中任选两个约数a1，a2，不过a1＋a2要是5的倍数。解在24的约数中任取两个，并且这两个约数(a1＋a2)为5的倍数。(1)1，4；2，8；3，12；6，24；(2)1，24；(3)2，3；4，6；8，12。依次所得结果为：(1)524＝5(14)24(14)＝552424(14)(14)14＝124＋16；(2)524＝5(14)24(14)＝552424(14)(14)14＝124＋16；(3)524＝5(14)24(14)＝552424(14)(14)14＝124＋16；例4在等式524＝1()－1()的括号中，填入不同的自然数，使等式成立(填出全部可能的情况)。点拨24的约数有1，24，2，12，3，8，4，6，取出两个约数之差是分子5的整倍数，然后把分子、分母都乘以这两个约数之差，再改写成两个同分母分数之差，并化简。解524＝5(61)24(61)＝5651245＝5651245245＝14－124；524＝5(83)24(83)＝5853245＝5853245245＝13－18。例5求出112的所有形如1a－1b的表达式(其中a，b为自然数)。点拨与1A＝1a＋1b的情况相似，我们任找A的两个约数a1及a2，但a1≠a2，a1：a2的比值相同的两个约数所得结果相同。解12的约数有1，2，3，4，6，12，任取两个约数：(1)1，2；2，4；3，6；6，12；(2)1，3；2，6；4，12；(3)1，4；3，12；(4)1，6；2，12；(5)1，12；(6)2，3；4，6；(7)3，4.依次所得的结果为：(1)112＝2112(21)＝21121121＝16－112；(2)112＝3112(31)＝31122122＝18－124；(3)112＝4112(41)＝41123123＝19－136；(4)112＝6112(61)＝61125125＝110－160；(5)112＝12112(121)＝12112111211＝111－1132；(6)112＝3212(32)＝32121121＝14－16；(7)112＝4312(43)＝43121121＝13－14；例6在等式49＝1()＋1()＋1()＋1()的括号中，填上不同的自然数，且尽可能小，使等式成立。点拨49＝4494＝1636，36的约数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，而其中1＋2＋4＋9＝16，可约分。解在36的约数中取1，2，4，9，和为16，等于分子。则49＝1636＝124936＝136＋236＋436＋936＝136＋118＋19＋14。例7把16化为1()＋1()＋1()＋…＋1()的形式(只写一种)。点拨1A＝1()＋1()＋1()＋1()＋…＋1()的方法是(1)把A分解质因数求几个约数a1，a2，…，an；(2)扩分：1A＝1212()nnaaaAaaa；(3)拆分：1A＝112()naAaaa＋1212()nnaaaAaaa＋…＋12()nnaAaaa(4)约分：1A＝1211()nAaaaa＋1221()nAaaaa＋…＋121()nnAaaaa解6的约数有1，2，3，6。16＝12366(1236)＝16(1236)1＋16(1236)2＋16(1236)3＋16(1236)6＝172＋136＋124＋112。例8请在括号内填上从4到23的不同整数，使下面的等式成立：1＝13＋1()＋1()＋1()＋1()＋1()＋1()＋124。点拨我们常用下面的两个公式来拆分：1pq＝1()ppq＋1()qpq，①1pq＝1(1)qp＋1(1)qpq。②解利用等式①，可以得到：12＝112＝11(12)＋12(12)＝13＋16，16＝123＝12(23)＋13(23)＝110＋115，所以12＝13＋110＋115。利用等式②可以得到：16＝132＝13(21)＋132(21)＝19＋118，16＝123＝12(31)＋123(31)＝18＋124，所以12＝16＋19＋118＋18＋124。最后得到1＝12＋12＝13＋110＋115＋16＋19＋118＋18＋124。说明本题的答案不是唯一的，另外还有：1＝13＋15＋18＋19＋112＋118＋120＋124，1＝13＋15＋18＋110＋112＋115＋121＋124。解题技巧分数的拆分形式多种多样，相关的变化灵活，且常常答案不唯一。解题需要经过以下步骤：1.分解：将A分解质因数，从中找出A的任意两个约数a1，a2；2.扩分：把1A的分子、分母同时乘以(a1＋a2)得到：1A＝1212()aaAaa3.拆分：把扩大后的分数拆成两个分数之和：1A＝121212()()aaAaaAaa4.约分：把所得的两个分数约分，得到最后结果：1A＝12121211()()AAaaaaaa竞赛能级训练A级1.填空。(1)17＝1()＋1()；(2)323＝1()＋1()；(3)118＝1()＋1()；(1)19＝1()－1()；(2)340＝1()－1()；(3)120＝1()－1()；2.求215＋235＋263＋299＋…＋215的值。3.从23＋16＋19＋112＋115＋118中必须去掉哪几个数，才能使余下的分数之和等于1？4.将110化为1a＋1b＋1c的形式，其中a，b，c为自然数，且它们的最大公约数为1(只求一种解)。5.在11992＋1a＝1b中，求出自然数a，b使等式成立，且三个分数均不相等。B级1.有九个单位分数的和等于1，其中的五个是13，17，19，111和133，其余四个分数的分母的个位数均为5，请写出这四个单位分数。2.四个互不相同的单位分数，其中两个分母是奇数，两个分母是偶数，且分母是奇数的两个分数之和等于分母是偶数的两个分数之分数的和最大是多少？3.在1＋118＝1的每一个方括号中，填入一个数码使等式成立，且要求所填的两个分母与18互质。4.要从12，13，14，…，149，150这49个分数中，挑出7个不同的分数，使它们的和等于1。这7个不同的分数从大到小依次是。5.将12＋112＋130＋156＋190写成分母是连续自然数的五个真分数的和。6.把89表示成若干个不同的单位分数之和，并使分成的单位分数尽量少。能力测试一、选择题(每题5分，共20分)1.将112拆分成1a－1b的形式共有()种结果。A.6B.7C.82.将415拆分成1a＋1b的形式共有()种结果。A.3B.4C.53.16＋112＋120＋130＋142等于()。A.1－17B.12－17C.16－174.130和170写成1a＋1b的形式，()。A.结果相同B.都有15种写法C.都有14种写法二、填空题(每题6分，共30分)1.126＝1()＋1()。2.736＝1()＋1()。3.1＝1()＋1()＋1()＋1()，其中括号里的四个数表示不同的四个数。4.117＝1a＋1b共有()种填法。5.114＝1A＋1B＋1C，A，B，C是不同的自然数，A＝()，B＝()，C＝()。三、解答题(每题10分，共50分)1.请你举出一个例子，说明两个真分数的和可以是真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数。2.将12化为1a＋1b＋1c的形式，其中a，b，c为自然数，且它们的最大公约数为1(只要求一种解)。3.在下面的算式中，所有分母都是四位数，请在每个方格中填入一个数字，使等式成立。1□□□□＋12004＝1□□□□4.已知三个质数的倒数之和是231a，则a是多少？5.已知两个不同的分数单位之和是112，求这两个分数单位之差的最小值。