10.2(2)在极坐标系下计算二重积分

二重积分二重积分在极坐标系下的计算第二节二重积分的计算（2）4.将直角坐标化为极坐标1、积分区域(极点为外点)2、积分区域（极点为边界点）3、积分区域（极点为内点）二重积分在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.三、利用极坐标计算二重积分故在极坐标系下,用同心圆r=常数及射线=常数,分划区域D为(1,2,,)iinAoD?iirriirrriiidrdrd则面积元素为iiririiiririiriiirr.drdrdxdy或二重积分(,)dDfxyddrr即二重积分在极坐标下的公式：co()sisn,Drfrdrdrdcosxrsinyr由直角坐标和极坐标之间的关系：x0yr(,)xysinyrcosxr二重积分(,)dDfxyddrr二重积分在极坐标下的公式：co()sisn,Drfr问题1：怎样的二重积分需要在极坐标下计算？积分区域D为圆形、扇形、环形，环扇形等被积函数形式22()()yfxyfx或问题2：如何在极坐标下计算二重积分？二重积分在极坐标下计算二重积分1、积分区域(极点为外点)ADo2()r1()r,12()()rD:21()()(cos,sin).rdfrrdrDdxdyyxf),(二重积分例1计算22Dxyd，2222{(,)|4}Dxyxy．Oyx解：D在极坐标系下可表示为{(,)|02,2}rr22DdxyDrdrrd2220drdr0223()|3dr20373d4143二重积分23164sinr22()ddDxyxy4sin22sindrrr315()48224xyy222xyy30xy例2.计算其中D为由圆所围成的22()dd,Dxyxy222,xyy224xyy30,yx及直线30,xy解：平面闭区域.30yx2sinroxy2436d二重积分2、积分区域如图：)(rAoD,0()rD:(cos,sin)DfrrrdrdDdxdyyxf),(()0(cos,sin).dfrrdrr（极点为边界点）二重积分例3计算22Dxyd，D是22xy＝2y围成的区域。yxO解22xy＝2y的极坐标方程是2sinrD在极坐标系下可表示为{(,)|0,2sin}0Drr22Ddxy2sin200drdrDrdrrd32sin00[]3rd329＝308sin3d＝208(cos1cos)3d3081(coscos)|33二重积分例4.计算2211Dxydxdyxy22(,)1,0xyxyx其中D是yxO解:D是关于x轴对称，221xyxy是关于Y的奇函数，2211Dxydxdyxy2210Dxydxdyxy2211Ddxdyxy1220021rddrrln22二重积分DA()ro3、积分区域如图：02,0()rD:(cos,sin)DfrrrdrdDdxdyyxf),()0(20(cos,sin).dfrrdrr（极点为内点）二重积分例5.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于故坐标计算.二重积分注:利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D为R2时,利用例4的结果,得①故①式成立.二重积分例6.求球体dd420cos022πθarrraθ被圆柱面xayx22所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos0:arDdd422rrraVD2033d)sin1(34πθθaa)943(23z=0acosar维望尼曲线DDcosaaxyO二重积分内容小结二重积分化为累次积分的方法1、直角坐标系情形:•若积分区域为则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为则xy)(1yxxDdc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyyxybaD二重积分DDrrfyxf)sin,cos(d),(则2、极坐标系情形:若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r3.改变积分次序的题型4.直角坐标化为极坐标的题型二重积分计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式二重积分练习10.2：2.已知22322(cossin1),xyDxyxxyedxdy2112220()xxdxxydy3.计算4.计算arctanDydxdyx22221,4,0,xyxyyyx其中D是由所围成的在第一象限内的闭区域。求1.计算5(1),DIxydxdyD是圆域224xy二重积分1.计算5(1),DIxydxdyD是圆域224xy5(1)DIxydxdy解：DdxdIy即求积分区域的面积45DDDxdxdyydxdydxdy利用线性性质：和的积分等于积分之和在利用积分区域对称、被积函数奇偶性相关结论50,0DDxdxdyydxdy二重积分2.已知22322(cossin1),xyDxyxxyedxdy求Oyx解：利用对称性及二重积分的性质可知2222=0+(xyDDDxydxdyedxdydxdy原式）3cossin0;Dxyxdxdy43Ddxdy22(Dxydxdy）22011443drrdr22xyDedxdy2242014()rdredree414()33ee423()3ee二重积分3、计算2112220()xxdxxydy0xy2yxyx1201:xDxyx解：将积分区域D化为极坐标204:sin0cosDr2sin4cos001rdrdr原式420sincosd4201(cos)cosd14cos021二重积分4.计算arctanDydxdyx22221,4,0,xyxyyyx其中D是由所围成的在第一象限内的闭区域。Oyx12yx解：D在极坐标系下可表示为{(,)|0,12}4rr2401ddrr原式（）22410d2r（）403d22364二重积分综合题：计算,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称区间奇偶性，得yox1DyxxIDdd222()1dd2DyyxxI10320dd21rr4围成.22ddddDDxxyyyx二重积分综合题：计算,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1)D为圆域(2)D由直线围成.o1yx11D2Dyxxy1211ddxxxy222ddddxyDDxxxxyyIye（2）解：2ddDxxy22dd=xyDxyexy,xy将D分为,,21DD添加辅助线利用对称性,得222212dddd0=xyxyDDxyexyxyexy2323I二重积分谢谢！放映结束感谢各位批评指导！让我们共同进步