《对数与对数运算》教学设计(精品)

对数与对数运算（一）（一）教学目标1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的（三）教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1．提出问题（P72思考题）131.01xy中，哪一年的老师提出问题，学生思考回答.由实际问题引入，激发人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：1820301.01,1.01,1.01,131313xxx在个式子中，x分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，学生的学习积极性.概念形成合作探究：若1.01x=1318，则x称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如：24416,2log16则，读作2是以4为底，16的对数.1242，则41log22，读作12是以4为底2的对数.合作探究师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书.让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．概念深化1.对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a＞0，且a≠1（2）logxaaNNx指数式对数式幂底数←a→对数底数指数←x→对数幂←N→真数掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.说明：对数式logaN可看作一记号，表示底为a（a＞0，且a≠1），幂为N的指数工表示方程xaN（a＞0，且a≠1）的解.也可以看作一种运算，即已知底为a（a＞0，且a≠1）幂为N，求幂指数的运算.因此，对数式logaN又可看幂运算的逆运算.2.对数的性质：提问：因为a＞0，a≠1时，logxNaaNx则由１、a0=1２、a1=a如何转化为对数式②负数和零有没有对数？③根据对数的定义，logaNa=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到①011,aaa（a＞0，且a≠1）②∵a＞0，且a≠1对任意的力，10logN常记为lgN.恒等式：logaNa=N3.两类对数①以10为底的对数称为常用对数，10logN常记为lgN.②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，logeN常记为lnN.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002.应用举例例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625；（2）2－6=641；（3）（31）m=5.73；（4）log2116=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303.例2：求下列各式中x的值（1）642log3x（2）log86x（3）lg100x（4）2lnex例1分析：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.（生口答，师板书）解：（1）log5625=4；（2）log2641=－6；（3）log315.73=m；（4）（21）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e2.303=10.例2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：（1）22333(64)(4)x23()2314416（2）68,x11666()(8)x所以11362(2)22通过这二个例题的解答，巩固所学的指数式与对数式的互化，提高运算能力．课本P74练习第1，2，3，4题.（3）21010010,x2x于是（4）2ln,ex由22ln,xee-x得即e所以2x练习（生完成，师组织学生进行课堂评价）解答：1.（1）log28=3；（2）log232=5；（3）log221=－1；（4）log2731=－31.2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=41；（4）3－4=811.3.（1）设x=log525，则5x=25=52，所以x=2；（2）设x=log2161，则2x=161=2－4，所以x=－4；（3）设x=lg1000，则10x=1000=103，所以x=3；（4）设x=lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x=－3.4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.归纳总结1.对数的定义及其记法；2.对数式和指数式的关系；3.自然对数和常用对数的概念.先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善．巩固本节学习成果，形成知识体系.课后作业作业：2.2第一课时习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(x（2）51521（3）327log31（4）664logx【分析】利用ax=Nx=logaN，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式.【解析】（1）∵64)41(x，∴x=41log64（2）∵51521，∴2151log5（3）∵327log31，∴27)31(3（4）∵logx64=–6，∴x－6=64.【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点.在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义ab=Nb=logaN进行转换即可.例2求下列各式中的x.（1）32log8x；（2）4327logx；（3）0)(loglog52x；【解析】（1）由32log8x得32332)2(8x=2–2，即41x.（2）由4327logx，得343327x，∴813)3(4343x.（3）由log2(log5x)=0得log5x=20=1.∴x=5.【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log2(log5x)=0及对数性质loga1=0.知log5x=1，又log55=1.∴x=5.对数与对数运算（二）（一）教学目标1．知识与技能：理解对数的运算性质．2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．3．情感、态态与价值观通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．（二）教学重点、难点1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.（三）教学方法针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习：对数的定义及对数恒等式logbaNbaN（a＞0，且a≠1，N＞0），指数的运算性质.;mnmnmnmnaaaaaa();mnmnmnnmaaaa学生口答，教师板书．对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．提出问题探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道mnmnaaa，那mn如何表示，能用对数式运算吗？如：,,mnmnmnaaaMaNa设.于是,mnMNa由对数的定义得到log,maMamMlognaNanNlogmnaMNamnMNlogloglog()aaaMNMN放出投影学生探究，教师启发引导．即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？概念形成（让学生探究，讨论）如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）logloglogaaaMNMN（2）logloglogaaaMMNN（3）loglog()naaMnMnR证明：（1）令,mnMaNa则：mnmnMaaaNlogaMmnN又由,mnMaNalog,logaamMnN即：logloglogaaaMMNmnN（3）0,log,NnnanNMMa时令则log,bnabnMMa则NbnnaaNb让学生多角度思考，探究，教师点拨．让学生讨论、研究，教师引导．让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会即logloglogaaaMMNN当n=0时，显然成立.loglognaaMnM从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．概念深化合作探究：1.利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？2.性质能否进行推广？（师组织，生交流探讨得出如下结论）底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.（生交流讨论）性质（1）可以推广到n个正数的情形，即loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.应用举例例1用logax，logay，logaz表示下列各式（1）logaxyz（2）23log8axy学生思考，口答，教师板演、点评．例1分析：利用对数运算性质直接化简.（1）logaxyzloglogaaxyz通过例题的解答，巩固所学的对数运算法则，提高运算能力．例2求下列各式的值.（1）752log(42)（2）5lg100例3计算：（1）lg14－2lg37+lg7－lg18；（2）9lg243lg；（3）2.1lg10lg38lg27lg.logloglogaaaxyz（2）23logaxyz23loglogaaxyz2loglogaaxy3logaz=12loglog2aaxy1log3az小结：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.例2解（1）752log(42)7522log4log214519（2）5lg100252lg105例3（1）解法一：lg14－2lg37+lg7－lg18=lg（2×7）－2（lg7－lg3）+lg7－lg（32×2）=lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0.解法二：lg14－2lg37+lg7课本P79练习第1，2，3.－lg18=lg14－lg（37）2+lg7－lg18=lg18)37(7142=lg1=0.（2）解：9lg243lg=253lg3lg=3lg23