非平衡态电磁场体系的超越完备量子化处理方案

“开放系统物理学”系列论文(76)非平衡态电磁场体系的超越完备量子化处理方案李宗诚苏州大学交叉科学研究室(筹)[e-mail]摘要本文用泛正则方法对非平衡态电磁场体系作超越完备量子化处理。这种量子化应当在保持超越完备协变性的前提下进行。关键词电磁场，超越完备量子化，非平衡态，交叉分析物理1．引言在文[1]~[10]建立全拓展的非线性非平衡态量子力学原理基础上，文[11]~[15]已探讨建立全拓展狭义相对论性的非线性非平衡态量子场分析基础。现考虑按照文[1]~[5]建立的泛正则方法对非平衡态电磁场体系作超越完备量子化处理。这种量子化应当在保持超越完备协变性的前提下进行。超越完备量子化的困难在于采用比独立自由度数目更多的变量。这里将通过多分量的超越完备矢势μζ,~A来描写非平衡态电磁场体系。由μνζνμζμνζxAxAF∂∂−∂∂=,,,,μννμμνsAsAF∂∂−∂∂=~~~,μνζνμζμνζγγ∂∂−∂∂=,,,~~~AAF(1)所分别定义的类运动场强、类发展场强和类完备场强具有丰富的物理意义，超越完备势μζ,~A自然地出现在相互作用项和跃迁振幅中，μζ,~A的四个分量不能都当作独立变量。因此，在构造非平衡态电磁场体系的“经典”泛正则表述时，我们会遇到某些困难。2.非平衡态电磁场体系的超越完备量子化初步类完备电磁场强ζE~和ζB~的分量构成一个反对称的二阶类完备张量，用μνζF~表示，其分量为。(2)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−↓⎯→⎯=0~~~~0~~~~0~~~~0~,,,,,,,,,,,,xyZxzyyzxzyxBBEBBEBBEEEEFζζζζζζζζζζζζμνμνζ由(1)给出的)(~γμνζF与类完备势)~,~()(~ζζμζγAAΦ=的关系为ζζζAE~~~−Φ−∇=，ζζAB~~×∇=。(3)它们给出两个类完备电磁场基本方程ζζBE&~~−=×∇，0~=⋅∇ζB，(4)其它两个类完备电磁场基本方程在没有荷和流的源时可表示为0~=∂∂νμνζγF，或0~=⋅∇ζE，ζζEB&~~=×∇，(5)而且，所有类完备场分量满足如下类完备波动方程□0)(~=γμνζF。(6)对任一给定的类完备场强)(~γμνζF存在着许多势，它们相互间差一个类完备规范变换μμζμζγγγγ∂Θ∂+=′)()(~)(~,,AA，(7)其中)(γΘ可以是γ和t的任意函数。方程(7)表明了类完备矢势选择中的规范自由度；如果满足(1)，则亦然。在此暂不考虑类完备规范的选取。为了用非平衡系统交叉分析物理的类完备作用原理（文[16]~[19]）由交叉分析物理的基本动力学量导出(5)，让我们对νμνζγ∂∂F~乘以在t1和t2处为零的无穷小交叉变分)(~,γδμζA，并对时间间隔内的所有类完备时空进行积分),(21tt∫∫−=∂∂=2121~~41)(~)(~0,4,4ttttFFdAFdμνζμνζμζνμνζγδγδγγγ。(8)于是自由的类完备电磁场中一个适当的交叉分析物理基本动力学量的密度为)~~(21~~~21~~41~22,,,ζζνμζμνζνμζμνζμνζζγγγBEAAAFF−=∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−=−=Λ。(9)方程(8)表明，如果用这个ζΛ~将)(~γμζA的四个分量中的每一个都处理成独立的动力学自由度，则交叉分析物理的类完备作用原理就给出类完备场方程(5)。现在由ζΛ~推出类完备共轭动量0~~~0,0=∂Λ∂=ζζζπA&，κζκζκζκζζκζγπEAAA~~~~~~0,,=∂∂−−=∂Λ∂=&&。(10)这给出类完备动力学能量密度∑=Φ∇⋅++=Λ−=3122,~~)~~(21~~~~kEBEAhζζζζζκζκζζπ&,(11)类完备动力学能量为∫∫+==)~~(21~~2233ζζζζγγBEdhdH,(12)其中去掉最后一项用了分部交叉积分，还用到了类完备电磁场基本方程0~=⋅∇ζE。类完备电磁场的超越完备量子化可通过把)(~γμζA处理成超越完备算符并且加上μζA~和泛正则动量kζπ~之间的对易关系来实现。让我们遵循泛正则方法，从等于零的等时超越完备对易子出发0)],(~),,(~[=′tAtAγγνζμζ，0)],(~),,(~[=′ttikγπγπζζ，0)],(~),,(~[0=′tAtγγπζμζ。(13)这个超越完备量子化方法以隐含类完备时空规范的协变性方式来分离出标势0,~ζA。因为与)(~0γζA共轭的超越完备动量)(~0γπζ为零，)(~0γζA与所有超越完备算符对易，它因此可以取成一个纯粹的数（c数的超越完备化）而不是超越完备算符，这与超越完备空间分量)(~γζkA不同。不过，作为理论出发点的类完备电磁场基本方程应当是在类完备时空规范变换下保持不变的，而且作为物理结果的超越完备跃迁振幅（ζS~矩阵元）是协变的。超越完备势),(~,tAjγζ′与共轭动量),(~tγπκζ间的等时超越完备对易子可以由泛正则方程导出=′)],(~),,(~[tAtjiγγπζζ)()],(~),,(~[3γγδδγγλζζ′−−=′−ijjiitAtE。(14)不过，(14)与类完备电磁场基本方程不相容。转到超越完备动量空间，我们会看到∑∫=′−⋅=′−∂∂31)(333)~2(1)(ijkiijiediκπκγγδδγγγζλζλ，(15)加上比例于jκ的项jiκκ，可作如下修正⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−≡′−→′−′−⋅∫2)(333)~2(1)()(ζγγζκκδπκγγδγγδδζλkedjiijkitrijij。(16)于是，超越完备对易子条件(14)换成=′)],(~),,(~[tAtjiγγπζζ)(γγδλ′−+triji。(17)ζA~⋅∇是一个c数的超越完备化这一点由ζA~和ζΦ~表示的ζE~的定义以及~~~02⋅∇−Φ−∇=⋅∇=(18)得出。3.量子电磁场体系超越运动时空规范的协变性需要探讨满足超越运动对易关系0)],(),,([0=′txAtxζμζπ，(19)=)],(),,([txAtxjiζζπ)(xxitrij′−+δλ的方程在类运动时空坐标系位移和类运动空间旋转下不变。通过验证μζ,P∫∫×∇+=+==:)(:21::212232230ζζζζζζAAxdBExdHP(20)∫∫∑=∇−=+=31,,33::::iiiAAxdBExdPζζζζζ&可以确信方程的类运动位移不变性。类似地，为验证类运动空间旋转不变性，我们可验证类运动空间分量，，ijMζ3,2,1,=ji:)(:313ijjirrijjirijAAAAAxxxxAxdMζζζζζζζ&&&−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=∫∑=(21)并且,(22)jrisjsirijrsggggζζζζζ,,,−=Σ而类运动系统间相对运动时的变换由:)((2:2231030⎥⎦⎤×∇+−∂∂⎢⎣⎡=∫∑=ζζκκζζκζAAxxAAxxdMrrr&&(23)生成。在由生成的一个无穷小类运动时空规范变换下得kM0ζ),()()()()()(,1ζμνζμνζμζζμζζεεεεxxxAxAUxAU′Θ′∂∂+′−′=−，(24)其中),(ζεx′Θ可看作是一个类运动规范函数。在辐射的超越运动规范中是横向的并有如下平面波展开式：),(txAζ。(25)xkiletlkAldtxA⋅∫∑=ζλζζζζκεκ),,(),(),(23两个单位矢量),(lκεζ对每个和对l=1,2都与正交ζkζk),(=⋅ζζκεkl，(26)使得。对每一个，也可以简便地选择而使它们相互正交，0=⋅∇ζAζk⋅),(lκεζlll′=′δκεζ),(。(27)由类运动电磁场基本方程，在辐射的类运动规范中也满足类运动波动方程□，并且我们可以作展开)(xAζ0=ζA]),(),([),()2(21),(2133xkixkilelkaelkalkdtxA⋅↓⋅−=+=∑∫ζλζλζζζζζζεπωκ，(28)其中||0ζζωκk==和。将(28)反过来表示，并用(27)可得02==μμκκκ),(lkaζ)(),()2(21),(033xAlexdilkaxiζζκζζλζκεπωλ⋅∂=⋅∫&&)(),()2(21),(033xAlexdilkaxiζζκζζλζκεπωλ⋅∂−=⋅−↓∫&&。(29)其次由计算),(laκζ和的超越对易关系，可得到),(laκζ↓),,([laκζllkkla′↓′−=′′δδκζζζ)()],(3，(30)同样还可以得到),,([laκζ=′′)],(laκζ),,([laκζ↓0)],(=′′↓laκζ，(31)类运动力学能量可以借助(20)和(28)而在动量表象中写成∫∫∑=↓=+=213223),(),(:)(:21llaladBExdHκκκωζζζζζζ。(32)类似地，类运动动量应为∫∫∑=↓=×=2133),(),(::llalakdBExdPκκκζζζζζζ。(33)可以把和),(laκζ↓),(laκζ诠释为类运动能量ζω和类运动动量的超越产生算符和超越消灭算符。ζk真空态为最低能态，是和的本征值为零的本征态并满足0ΦζHζP0),(0=Φlaκζ。(34)如果我们构成超越运动态),(),(01,;lalalκκζζκζ↓↓≡Φ≡Φ(35)并计算1,;2131,;0),(),(),(llllalaadPκζμζζζμκζμζκκκκκκκΦ=′′′′′′=Φ↓↓=′∫∑，(36)则将解释为四动量是),(laκζ↓μκ且的类运动光子的超越产生算符。02==μμκκκ现在，为了探讨一个横向极化光子态的超越运动时空演化，我们可构造超越运动传播子。对此，可作一个超越运动振幅，以表明光子在超越运动时空点x产生，极化投影为μ，然后传播至点，被湮灭时极化投影为ν：x′)(0)()(0,,ttxAxA−′′θμζνζ。(37)对，作光子的超越运动振幅，以表示在tt′x′产生极化投影为ν的光子，在x湮灭时极化投影为μ：)(0)()(0,,ttxAxA′−′θνζμζ。(38)(37)和(38)之和就定义超越运动传播子+−′′=′)(0)()(0),(,,,ttxAxAxxDitrFθμζνζνμζλ)(0)()(0,,ttxAxA′−′θνζμζ0))()((0,,xAxATμζνζ′=，(39)这里是编时超越运动算符。ζT将超越运动场展成平面波以构造的显示形式νμζ),(,xxDtrF′∫∑=−=′2,1,,33,),(),()2(21),(ltrFlldixxDκεκεπωκμζνζζζλνμζ。(40)])()([)()(xxkixxkiettett−′⋅−′⋅−′−+−′×ζλζλθθ在辐射的超越运动规范中),(,lκενζ没有时间分量，即，在采用这一超越运动规范的参照系中，我们可以把超越运动传播子写成四维交叉积分形式)),(,0(),(llκεκεζνζ=∫∑=−′⋅−+=′2,1,,)(243,),(),(1)2(1),(lxxkitrFlleidxxDκεκεεκπκμζνζζλζνμζζλ。(41)为了明显地分离出对超越运动坐标的依赖关系，可以在进行超越量子化的类运动参照系中引入一个类时单位矢量。对一个给定的)0,0,0,1(=μημκ，引入])([)(122μμμληηκκκηκκ⋅−−⋅=，(42)它同,和一道构成一组四个独立正交单位矢量。于是有)1,(κεμζ)2,(κεμζμη∫−′⋅−+−−′=′)(243,,,1)2(1)(),(xxkiFtrFeidxxDgxxDζλζλζζνμζνμζεκπκ]))(([)(1222μνμνμν