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等腰三角形和等边三角形等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形相等的两个边称为这个三角形的腰等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴等腰三角形的判定：1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)2.在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形的性质：⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)等边三角形的判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形(4)两个内角为60度的三角形是等边三角形(5)说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。(6)等边三角形的性质与判定理解：(7)首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。等腰三角形的性质应用及判定【例1】（扬州中考）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.三角形例题解析(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）(2)选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形【例2】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：△CDE为等腰三角形【例3】（福建中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（）①DC'平分∠BDE②BC长为(22)a③△BC'D是等腰三角形④△CED的周长等于BC的长A.1个B.2个C.3个D.4个【例4】如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，则△AMN的周长是AEBCODEABCDDBECDBC'.EACBAMNDBC【例5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A.20°B.120°C.20°或120°D.36°【例6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为例7】如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(2)求证：△COD是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由等边三角形的性质应用及判定【例8】（乐山中考）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠DFC的度数。【例9】（黄冈中考）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE,AF。求证：BE=AF【例10】（天津中考）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：①△ACD≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确结论的个数是A.3个B.2个C.1个D.0个【例13】如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连BCAODAFBCEDNMDACBEABCEFDNMACBBAFCE三角形ACM和BCN，连接AN，BN，若∠MBN=38°，则∠ANB的大小等于。【例14】（常州中考）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F，得到△DEF为等边三角形，求证：（1）△AEF≌△CDE;(2)△ABC为等边三角形等腰直角三角形的性质应用及判定【例15】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD=【例16】已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是∠A的平分线，求证：AC+CD=AB【例17】（枣庄中考）两个全等的含30°，60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC的形状，并说明理由FEDACBBADCABCDDECBMA1.下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形，则以下结论正确的是（）A.只有命题①正确B.只有命题②正确C.命题①、②都正确D.命题①、②都不正确2.(四川中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）A.32.5°B.57.5°C.65°或57.5°D.32.5°或57.5°3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形。你添加的条件是4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC+AB=6cm，则AB=cm5.已知：等边△ABC中，如图，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等边△CDE,连结AD,则有AD∥BC,上述结论还成立吗？答练习题ABCDADCBE