受力分析方法之相似三角形的应用

1受力分析方法之相似三角形的应用相似三角形法也是三角形法的一种，它不同于动态三角形法。动态三角形法的特点是只构建一个矢量三角形，在这个矢量三角形中通过一个变量来确定其他变量；相似三角形法的特点是构建一个矢量三角形和另外一个几何三角形相似，通过几何三角形的边长变化来讨论矢量三角形中矢量的变化。【例1】如图（1）所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮。今缓慢拉绳使小球从A点滑向半球顶点（未到顶点），则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力T大小的变化情况是（）A、N变大、T变大B、N变小、T变大C、N不变、T变小D、N变大、T变小【解析】对A进行受力分析如图（1）所示，由三力平衡条件，在T反向延长线上取T′＝T，将N平移，则N、T′和小球的重力G构成一个如图所示的矢量三角形NT′G。由于G平行于BO，N平行于AO，故矢量三角形NT′G相似于几何三角形OAB。由相似条件NAO＝GBO，T′AB＝GBO可得：N＝GBOAO，T＝T′＝GBOAB，在小球从A点滑向半球顶点（未到顶点）的过程中，BO、AO长度不变，AB在减小，又重力G大小不变，故N不变，T＝T′减小，选C。【例2】如图（2）所示，重量可以不计的轻杆可以绕光滑的水平轴O在竖直平面里自由的转动，杆的P端挂有重物Q，另有跨过O轴正上方定滑轮的细线拉住轻杆的P端，使其处于平衡状态，这时细杆与竖直方向的夹角为θ。现使夹角为θ慢慢的由小变大①跨过定滑轮的绳中的张力（）A、逐渐增大B、逐渐减小C、恒定不变D、先减小后增大②轻杆受到的压力（）A、逐渐增大B、逐渐减小C、恒定不变D、先减小后增大【解析】对P点进行受力分析如图（2）所示，由三力平衡条件，在T1反向延长线上取T1′＝T1，将N平移，则N、T1′和Q对P的拉力T2（T2等于Q的重力）构成一个如图所示的AOBTNT′NG图（1）T1′PoQaθFT1NN图（2）T22矢量三角形NT1′T2。由于T2平行于ao，N平行于op，故矢量三角形NT1′T2相似于几何三角形pao。由相似条件Nop＝T2ao，T1′ap＝T2ao可得：N＝T2aoop，T1＝T1′＝T2aoap，在θ慢慢的由小变大的过程中，ao、op长度不变，ap在增大，又重力T2＝G大小不变，故N不变，T1＝T1′增大，①选A②选C。【例3】如图（3）为一攀岩运动员正沿竖直岩壁缓慢攀登，由于身背较重的行囊，人和行囊的重心上移至肩部O点，总质量为60kg。此时手臂与身体垂直，手臂与岩壁夹角为53°。则手受到的拉力和脚受到的作用力分别为（设手、脚受到的作用力均通过重心O，取g＝10N∕kg，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（）A、360N，480NB、480N，360NC、450N，800ND、800N，450N【解析】对人和行囊进行受力分析如图（3）所示，由三力平衡条件，在T反向延长线上取T′＝T，将N平移，则N、T′和整体的重力G构成一个如图所示的矢量三角形NT′G。由于G平行于ab，N平行于ob，故矢量三角形NT′G相似于几何三角形boa。由相似条件T1′ao＝Gab，Nob＝Gab可得：T1＝T1′＝Gabao，N＝Gabob，因θ＝53°，ao垂直ob，aoab＝35，obab＝45，T1＝T1′＝G×35＝360N，N＝G×45＝480N，故选A。【例4】如图（4）所示，一个重为G的光滑小球A静止在半径为R的半球体和竖直的挡板之间，则挡板和半球体对球的弹力分别为多少？（已知A的半径为r）【解析】对小球A进行受力分析如图（4）所示，连接O1O2并延长交于墙壁于a，N1的反向延长线交于墙壁于b，墙角为c。由于ΔabO1∽ΔacO2可得：aO1aO1＋O1O2＝bO1cO2，aO1aO1＋r＋R＝rR，aO1＝r(R＋r)R－r，由ab＝aO12－bO12＝2rgrR－r。由三力平衡条件，在N2反向延长线上取N2′＝N2，将N1平移，则N1、N2′和G构成一个如图所示的矢量三角形N1N2′G。由于N1平行于bO1，G平行于ab，故矢量三角形N1N2′G相似于几何三角形bO1a。由相似条件N1G＝bO1ab，N2′G＝aO1ab可得：N＝bO1abG＝R－r2grG，N2＝N2′＝aO1abG＝R＋r2grG。Noab53°NTT′G图（3）acA0102rRN1N2N2′N1G图（4）b