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=数量关系=【代入与排除法】★直接代入法★倍数特性法2、4、8整除及余数判定基本法则1.一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；2.一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；3.一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除；3、9整除及余数判定基本法则1.一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；2.一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除；7整除判定基本法则1.一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；2.一个数是7的倍数，当且仅当其末三位，与剩下的数之差为7的倍数；11整除判定基本法则一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和的差值为11的倍数题型一：直接倍数例1.将2万本书籍分给某希望小学9个班的学生，在9个班中，其中1个班有学生32人，其余8个班人数相同且在40到50人之间。如每名学生分到的书本数相同，问每人分到了多少本书？A.40B.50C.60D.80解析：设每人分到2本，8个班每班学生y人，则（32+8y）x=20000，化简可得（4+y）x=2500，显然2500是x的倍数，B满足。例2.某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，因技术改进，实际每天生产120个。结果提前4天完成任务，还多生产了80个。则工厂原计划生产零件（）个。A.2520B.2600C.2800D.2880解析：原计划生产的零件数目加上80，一定是120的倍数，选C。点睛：如果知道两个数的和为a，差为b，那么这两个数分别为2ba和2b-a，这是一个很重要的结论，一定要牢牢记住。题型二：因子倍数例1.王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时可以抄完。当抄完2/5时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报告共有多少字？（）A.6025B.7200C.7250D.5250解析：设报告总共有X个字，完成报告2/5后，效率提高40%，为30×1.4=42个，而42中有7因子，所以重量的3/5也应该有因子7，选D例2.学校组织学生进行献爱心募捐活动，某年级共有三个班，甲班捐款数是另外两个班捐款总数的2/5，乙班捐款数是丙班的1.2倍，丙班捐款数比甲班多300元，则这三个班一共捐款（）元。A.6000B.6600C.7000D.7700解析：题型三：比例倍数在整数运算中，若a：b=m：n（m，n互质），则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a＋b占m＋n份，是m＋n的倍数；a－b占m－n份，是m－n的倍数例1.某单位引进4名技术型人才后，非技术型人才在职工中的比重从50%降至43.75%。问该单位在引进人才之前有多少名职工？A.28B.32C.36D.44解析：43.75%=7/16，即非技术职工：现职职工=7:16，说明非技术职工是7的倍数，原有的比重是50%，则原职工数也一定是7的倍数。综合特性法题型一：大小特性题型二：奇偶特性1.两个奇数之和/差为偶数，两个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；2.两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数之和/差为偶数，则它们奇偶相同；3.两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差为偶数。例1.有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，求这个整数。（）A.44B.43C.42D.41解析：如果该整数是偶数的话，用它分别去除157、324和234，三个余数一定是奇数、偶数、偶数，和不可能是100，所以该整数一定是奇数，排除A、C。将B、D项代入，经验算可知41符合条件。所以选择D选项。题型三：尾数特性点睛：正整数的加、减、乘运算中，每个数字的最后N位，经过同样的计算，可以得到结果的最后N位题型四：余数特性例1.某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？A.16B.20C.24D.28解析：由“如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”，可设分成了X组，则党员数为5X+2名，入党积极分子为2X，因此参加理论学习的党员比入党积极分子多3X+2名，即减去2是3的倍数，符合此条件的只有B项。题型五：幂次特性题型六：质数特性本章习题训练1.孙儿孙女的平均年龄是10岁，孙儿年龄的平方减去孙女年龄的平方所得的数值，正好是爷爷出生年份的后两位，爷爷生于上个世纪40年代。问孙儿孙女的年龄差是多少岁？（）A.2B.4C.6D.8解析：2人的平方和相减是爷爷的出生年份的后2位，40年代，那么后两位是在40-49之间。设孙儿、孙女的年龄分别为a、b，两人平均10岁，那么a+b=20。而a2-b2=（a+b）（a-b）=20（a-b），代入选A。2.某公司为客户出售货物，收取3％的服务费；代客户购置设备，收取2％的服务费。某客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备。已知公司共收取该客户服务费200元，客户收支恰好平衡，则自产的物品售价是多少元？（）A.3880B.4080C.3920D.7960解析：设客户自产的物品售价是x元，购置的新设备是y元，由于收支平衡，即x×（1-3%）=y（1+2%），即97x=102y，可知x必然为102的倍数，103又是3的倍数，故而选B3.1！+2！+3！+…+2010！的个位数是（）。A.1B.3C.4D.5解析：从5！及以后的各个数里都含有因子2和因子5，尾数必然是是0，因此，这个式子的个位数是1+2+6+4+0+…+0的尾数，尾数为3。本题答案为B选项4.某单位组织职工参加团体操表演，表演的前半段队形为中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；后半段队形变为中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。该单位职工人数为150人，则最多可有多少人参加？（）A.149B.148C.138D.133解析：（总人数-5）是8的倍数，代入选项排除选项B、C；后半段：（总人数-8）是5的倍数，代入选项排除选项A。因此，本题答案为D选项。【转化与化归法】★划归为一法在“划归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分散，简化计算。例1.某水果店新进一批时令水果，在运输过程中腐烂了1/4，卸货时又损失了1/5，剩下的水果当天全部售出，计算后发现还获利10%，则这批水果的售价是进价的（）倍。A.1.6B.1.8C.2D.2.2解析：设一共有20千克水果，则剩下的水果为20-20×1/4-20×1/5=11，获利10%，则最终收入应为22元，售价则为22/11=2元。因此，本题选C。点睛：本题为利润问题，题干当中没有涉及重量、单价或者总价的任何一个量的具体大小，所以可以挑选其中两个量，大胆假设，这样不会影响结果。★比例假设法例1.一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车的行驶速度之比为4:3。两车相遇后，客车的行驶速度减少10%，货车的行驶速度增加20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站还有17公里。东、西两个车站的距离是（）公里。A.59.5B.77C.119D.154解析：两车相遇的点到东西两个车站的距离比是4:3.相遇后速度相等，均为3.6，则客车走3到站时，货车也走3，距离东车站的距离是整个路程的1/7，即17公里。17X7=119.答案为C。例2.某类型灯泡按功率大小划分为不同的型号，不同型号灯泡的功率和平均使用寿命成反比，如果20瓦灯泡的平均使用寿命正好比30瓦灯泡长2400小时，问45瓦灯泡的平均使用寿命比50瓦的灯泡长多少小时？（）A.240B.320C.480D.1200解析：比例问题。由于功率和平均使用寿命成反比，即功率和平均使用寿命的乘积应该相同，取20、30、45、50的最小公倍数900，则20、30、45、50瓦灯泡寿命分别为45、30、20、18，其中20瓦比30瓦寿命长45-30=15，而实际值为2400，是假设值的160倍。在假设条件下，45瓦比50瓦寿命长20-18=2，实际应该长2x160=320.★工程问题基础公式：工作量=工作时间x工作效率；核心思想：划归为一法（设“1”法）、比例假设法题型一：基础计算型例1.某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少时间完成？（）A.1.4小时B.1.8小时C.2.2小时D.2.6小时解析：设总工作量为72,则原效率为8；交换甲乙的岗位或丙丁的岗位互换之后的工作效率均为9，一起互换后效率提高2，变为10，于是完成时间为72÷10=7.2小时，即提高了9-7.2=1.8小时。题型二：同时合作型题型三：先后合作型题型四：交替合作型“交替合作型”工程问题，由于合作的“交替性”，不能简单地使用公式进行计算，而要注重其工作的“周期性”。题型五：撤出加入型题型六：两项工程型例1.A、B、C三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路900米，李庄要修路1250米。已知A、B、C队每天分别能修24米、30米、32米，A、C队分别在王庄和李庄修路，B队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。问B队在王庄工作了几天？A.9B.10C.11D.12解析：总工程量为900+1250=2150米，总效率为24+30+32=86（米/天），总耗时为2150÷86=25天，那么A队工程总量为24x25=600米，所以B队在王庄的工程量为300米，耗时300÷30=10天。例2.甲、乙、丙三个工厂承接A和B两批完全相同的加工订单，如果甲厂和乙厂负责A订单而丙厂负责B订单，则丙厂要比甲厂和乙厂晚15天完成；如果在上述条件下甲厂分配1/3的生产资源或者乙厂分配1/5的生产资源用于B订单的生产，则A、B两个订单同时完成。问如果合并三个工厂的生产能力，第几天可以完成A订单的生产任务？A.22B.24C.25D.26解析：设三个工厂的效率分别为甲、乙、丙，则丙+甲×(1/3)=甲×(2/3)+乙，丙+乙×(1/5)=甲+乙×(4/5)，解得：甲/乙=3/5，若赋值：甲=3、乙=5，则丙=6，设甲乙两厂合作T天可以完成A订单，则丙厂需要(T+15)天可以完成B订单，则有(3+5)×T=6×(T+15)，解得：T=45，即订单的工作量A=B=6×(45+15)=360，则三个工厂合作完成A订单需要的时间为360÷(3+5+6)=25.7天，选D。题型七：三项工程型本章习题训练1.2010年某种货物的进口价格是15元／公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20％。问2011年该货物的进口价格是多少元／公斤?（）A.10B.12C.18D.24解析：赋值法。假设2010年进口了2公斤，2010年进口金额是30元，2011年进口了3公斤，进口金额是30×（1+20%）=36，因此2011年进口价格是36÷3=12元/公斤。答案为B选项。2.商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54元。问该商品原来的售价是多少元？A.324B.270C.135D.378解析：假设进货价是5份，则原售价为7份，降低后售价为6份，说明1份是54，所以7份是54×7＝378元。因此，本题选D。3.某城市共有A、B、C、D、E五个区，A区人口是全市人口的5/17，B区人口是A区人口的2/5，C区人口是D区和E区人口总数的5/8，A区比C区多3万人。全市共有多少万人？A.20.4B.30.6C.34.5D.44.2解析：解法2：假定全市人口为17×13份，则A区5×13=65份，B区2×13=26份，C