2009-2010微积分(I)作业zucc 浙江大学城市学院

编号班级姓名1第二章极限与连续第一节数列的极限1．观察下列数列的变化趋势，哪些收敛？哪些发散？若收敛，试指出其极限．（1）nn11(2)n32(3)nn312(4)nncos(5)2n第二节~第三节函数的极限1．从函数极限的直观定义出发，求下列极限．（1）lim1xxx（2）lim2xx（4）10limxxe2．讨论下列函数()fx在指定点处的左极限、右极限，并由此说明在该点处极限是否存在．（1）()xfxx，在0x处.（2）2,2()2,2xxfxxx，在2x处.3．当a为何值时，函数,1,(),1.xexfxxax在点1x处极限存在？编号班级姓名2第四节无穷小与无穷大1．指出当自变量x趋于什么值时，函数11)(xxxf是：Ⅰ：无穷小；Ⅱ：无穷大2．利用无穷小量性质求下列函数的极限．（1）coslimxxx（2）xxx1arctanlim0第五节极限的性质和运算计算下列极限．（1）113lim21xxx（2）22132lim43xxxxx（3）152lim22xxxx(5)11lim22xxxxx（7）xxxxxsinsinlim第六节两个重要极限计算下列极限．（1）xxxxx2tan32sinlim0(2)xxxxxsin11sinlim0(3)1)1sin(lim21xxx(4)30sintanlimxxxx(5)xxx321lim(6)13123limxxx(7)xxx2111lim编号班级姓名3第七节函数的连续性1．讨论下列函数在指定点处的连续性．（1）1,1,12)(2xxxxxf在1x.（2）,0()0,0xxxfxx在0x.2．找出下列函数的间断点，并指出它的类型．（1）232)(2xxxxf.3．确定常数ba,，使得函数0,1sin0,0,sin1)(xbxxxaxxxxf连续．4．证明方程012xx在区间1,0内至少有一实根．第八节无穷小的阶1．验证当0x时，有（1）235xx是x的2阶无穷小．2．若当0x时112ax与x2sin为等价无穷小量，求a的值．4．利用无穷小量等价代换求下列极限．（1）xxx1cos1lim2（2）20sintanlim1cosxxx（3）202sin31lnlimxxxx编号班级姓名4第三章导数和微分第一节导数的概念1．按导数定义求下列函数在指定点处的导数.(2)xxf1)(在3x．2.设)(xf在点ax处可导，求0(2)()limtfatfat－3.设函数)(xf在0x处的导数为2，且,0)0(f求xxfx)(lim04．若0,0,)(xbxaxexfx在0x处可导，求ba,的值.第二节导数的运算1．求下列函数的导数；（1）232141xxy（2）2123xxxy（3）xxxycottan（4）xxyln1ln1（5）xxyarccos2（6）xxyarctan(7)xxxylnsin（8）axxay01aa（且）（9）设xxxy1ln，求dxdy，1xdxdy．2．求曲线2xy在点)16,4(处的切线方程和法线方程．编号班级姓名5第四节复合函数的求导法则1．求下列函数的导数．（1）2212xy（2）xxy（3）xxy3cos2sin（4）xxysinlog23（6）xxy1（7）212arctanxxy（8）21lnxxy2．若函数)(uf可导，求下列函数的导数．（1）)(sin)(sin22xfxfy（2）)()(xfxeefy第五节高阶导数1．求下列函数的二阶导数．（1）xxysin（2）2xey（3）21xxy（4）2ln(1)yx，求(0),(0)yy2．求下列函数的n阶导数．（1）baxey（2）xxy11第六节隐函数的导数1．求下列隐函数的一阶、二阶导数．（1）xyysin（２）yxey1２．利用对数求导法，求下列函数的导数．（１）()()()()axbxyaxbx（２）xxyln３．求曲线122yyxx在1,1处的切线方程和法线方程．编号班级姓名6第七节由参数方程所确定的函数的导数１．求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数．（１）ttytxarctan)1ln(2（２）21arcsintytx２．写出曲线tytx2cossin在已知点6t处的切线方程和法线方程．３．求下列由参数方程所确定的函数的二阶导数．（１）3232ttyttx（３）tytxcos12第八节函数的微分１．求下列函数的微分dy．（１）1ln2xy（２）函数)(xyy由方程yeyx确定．（６）函数)(xyy由方程0cossinxeyeyx确定．第四章导数的应用第一节中值定理1．求函数2()1fxx在1,3上满足拉格朗日微分中值定理的.3．设()[0,]fx在上连续，在(0,)内可导，试证：在(0,)内至少存在一点，使()sin()cos0.ff(提示：设()()singxfxx，将()gx在[0,]运用罗尔定理)4．证明:arctanarctanabab.第二节洛必达法则用洛必达法则求下列极限：1．01cos2lim1cos3xxx；2．ln1limxexxe3．30tansinlimxxxx5．011lim1xxxe；7．sin0limxxx；8．20sin1limxxexx；编号班级姓名7第四节函数的单调性与极值１．求下列函数的单调区间：（１）32()26187fxxxx；（２）22lnyxx２．证明下列不等式：（１）31tan032xxxx（２）22xx(4)x３．求下列函数的极值（１）422yxx；４．利用二阶导数求函数cos,0,2xyexx的极值．第五节函数的最大值、最小值问题１．求下列函数的最大值与最小值．（１）3223121yxxx在[2,2]上．（２）||xyxe在[2,1]上．２．用铁片制作一个容积为3a的圆柱形无盖容器，问应如何选择底半径和高，使所用材料最节省？３．在抛物线24yx上，找出到定点(10,0)P最近的点，并计算最近距离．４．作半径为Ｒ的球的外切圆锥，问此圆锥的高为多少时，其体积最小？并求此最小体积．第六节曲线的凹向与函数图形的描绘１．求下列曲线的的凹向区间及拐点：（１）43341yxx（２）1yxx２．已知点(1,3)为曲线32yaxbx的拐点，求ab和的值，并求曲线的上凹区间与下凹区间.编号班级姓名8第五章不定积分第一节不定积分的概念第二节不定积分基本公式和运算法则１．填空：（1）22xdx；（2）211dxx=；（3）arctandxdx；（4）2sindx；2．试求下列函数()fx的一个原函数()Fx：（1）1()fxx；（2）21()1fxx；３．已知曲线上任意一点,xy处切线的斜率为xe，且曲线过点0,1，求此曲线方程．１．求下列不定积分：（１）3sinxxdx（２）31xxdxx（３）2xxdx（４）2(tancot)xxdx（５）2222(1)xxdxxx（６）2()xadx（７）2(23)xxdx编号班级姓名9第三节换元积分法（一）１．求下列不定积分：（１）123dxx（２）272xxdx（３）3xedx（４）214dxx（５）121xedxx（６）2143dxxx（８）1xxedxe（１０）219xdxx２．若()lnfxdxxxxC，求2(1)xfxdx．第三节换元积分法（二）求下列不定积分：１．3xxdx2.112dxx５．222xdxax６．3211dxx第四节分部积分法求下列不定积分：1．2lnxxdx2．sin2xxdx3.2xxedx７．21xedx编号班级姓名10第六章定积分第一节定积分的概念3．利用定积分的几何意义，求积分1201xdx的值.5．利用定积分的性质，比较积分120xdx与积分130xdx的大小.第二节微积分的基本定理1．求（1）20sinxdtdtdx；（2）202sinxdtdtdx.2．求（1）120sindtdtdt；（2）2sinxexdtdtdx.3．计算下列定积分：（1）10(cos)xxdx；（2）312311dxx4．计算定积分0cosxdx：.5．设21,1;(),1;2xxfxxx，求20()fxdx.6．求使函数201()1xtfxdtt上凹的区间.7．求极限0011limsin2xxtdtxt.第四节定积分的计算（一）利用换元法，求下列定积分：1．1201xdxx；3．2120ttedt；4．2111lnedxxx；5．1011dxx；8．3011xdxx；编号班级姓名11第四节定积分的计算（二）1．利用分部积分法，计算下列定积分：（1）10xxedx；（2）1lnexxdx；（3）1lneexdx（4）320arccosxdx；2．计算下列定积分：（1）222(1)4xxdx；3.120()31(),fxxxfxdx求()fx.第五节微元法第六节定积分在几何上的应用习题2．求由221,15yxyx所围图形的面积.3．求由212,2,4yxxyyx所围图形的面积（1x）.5．求由,xxyeye与1x所围图形的面积.6计算抛物线yx与yx及1x所围图形的面积.7.求3,2,0yxxy所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转所得的两个旋转体的体积.10．求由,,3xyayax所围图形的面积S，并求由此图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.11．求曲线2ln(1)yx上相应于102x的一段弧的长度.第八节广义积分1．从定义讨论下列广义积分的敛散性，若收敛，求其值：（1）21lndxxx；（2）211lndxxx.（5）201xdxx；编号班级姓名12第七章无穷级数第一节常数项无穷级数的概念与性质第二节正项级数及其审敛法1．从定义出发判别下列级数的敛散性：（1）11(2)nnn2．判别下列级数的敛散性：（1）1arctannn（2）11122nnn3．判别下列级数的敛散性：（1）3123nnnn；（2）111nn；（3）23111nnn；4．判别下列级数的敛散性：（1）312nnn（2）13!nnn（3）1!nnnn（4）21sinnnnn（5）1(2)2nnnn（6）311nnne第三节任意项级数5．判别下面级数是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：（1）21(1)nnn（2）31(1)nnn（4）31arctan(1)nnnn；（5）2(1)lnnnn；编号班级姓名13第四节幂级数6．求下列幂级数的收敛半径与收敛区间（1）1(2)nnx（2）12nnnxn（3）113nnnxn.（4）